Cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(e) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
f(x)=4 xx^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=4xx^2+1,
definida em R. Vamos estudar: (a) derivada e monotonicidade; (b) extremos locais; (c) segunda derivada e concavidade; (d) pontos de inflexão; (e) raízes; (f) limites para xtopminfty; (g) esboço do gráfico.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente: se u=4x e v=x^2+1, então
f'(x) =u'v - uv'v^2 =4(x^2+1)-4xcdot2x(x^2+1)^2 =4-4x^2(x^2+1)^2 =4,1-x^2(x^2+1)^2
O numerador muda de sinal em x=pm1. Como (x^2+1)^2>0 sempre, temos:
- Para |x|<1, 1-x^2>0 então f'(x)>0 to f cresce em (-1,1).
- Para |x|>1, 1-x^2<0 então f'(x)<0 to f decresce em (- infty,-1) e em (1,infty).

Passo 3

O sinal de f' indica extremos em x=-1 e x=1:
- Em x=-1 troca de decrescente para crescente to mínimo local.
- Em x=1 troca de crescente para decrescente to máximo local.
Calculamos os valores:
f(-1)=4cdot(-1)(-1)^2+1=-42=-2, f(1)=4cdot11^2+1=42=2

Passo 4

Agora a segunda derivada. A partir de
f'(x)=4,1-x^2(x^2+1)^2,
fazendo derivada de novo chega-se a
f''(x) =8x(x^2-3)(x^2+1)^3
O sinal de f'' dá concavidade:
- f''(x)>0 (côncava para cima) quando x(x^2-3)>0, ou seja x<- raiz3 não vale, entre -raiz3 e 0 vale, e para x>raiz3 vale.
- f''(x)<0 (côncava para baixo) quando xin(-infty,-raiz3)cup(0,raiz3).

Passo 5

Pontos de inflexão são onde f''(x)=0 ou muda de sinal, isto é x=0, x=pmraiz3.
Calculamos f nesses pontos:
f(0)=0, f(pmraiz3)=4,(pmraiz3)(raiz3)^2+1 =pm4raiz34=pmraiz3

Passo 6

Para as raízes resolvemos f(x)=0, ou seja tfrac4xx^2+1=0. Como x^2+1neq0, a única solução é
x=0

Passo 7

Os limites no infinito vêm de comparar graus:
limxto+inftyf(x)=limxto+infty4xx^2+1=0^+, limxto-inftyf(x)=0^-

Resposta

O gráfico de f(x)=4x/(x^2+1) passa pela origem, tem mínimo local em (-1,-2) e máximo local em (1,2), inflexões em l(-raiz3,-raiz3r), (0,0), l(raiz3,raiz3r); cresce em (-1,1), decresce em (-infty,-1)cup(1,infty); é côncava para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty) e para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3); tende a 0 nos dois extremos horizontais. O esboço segue essa forma de função ímpar, com “campânula” entre -1 e 1 e ramos decrescentes além desses pontos.

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