Cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
(a) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
nesses pontos;
(c) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(e) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(f) Calcule os limites
e
.
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(a) Calcule
(b) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de
(c) Calcule
(d) Determine os pontos de inflexão da curva
(e) Calcule as raízes de
(f) Calcule os limites
(g) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
. Vamos estudar: (a) derivada e monotonicidade; (b) extremos locais; (c) segunda derivada e concavidade; (d) pontos de inflexão; (e) raízes; (f) limites para
; (g) esboço do gráfico.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente: se
e
, então
O numerador muda de sinal em
. Como
sempre, temos:
- Para ,
então
cresce em
.
- Para ,
então
decresce em
e em
.
- Para
- Para
Passo 3
O sinal de
indica extremos em
e
:
- Em troca de decrescente para crescente
mínimo local.
- Em troca de crescente para decrescente
máximo local.
Calculamos os valores:
- Em
- Em
Calculamos os valores:
Passo 4
Agora a segunda derivada. A partir de
fazendo derivada de novo chega-se a
O sinal de
dá concavidade:
- (côncava para cima) quando
, ou seja
não vale, entre
e
vale, e para
vale.
- (côncava para baixo) quando
.
-
-
Passo 5
Pontos de inflexão são onde
ou muda de sinal, isto é
,
.
Calculamos nesses pontos:
Calculamos
Passo 6
Para as raízes resolvemos
, ou seja
. Como
, a única solução é
Passo 7
Os limites no infinito vêm de comparar graus:
Resposta
O gráfico de
passa pela origem, tem mínimo local em
e máximo local em
, inflexões em
,
,
; cresce em
, decresce em
; é côncava para cima em
e para baixo em
; tende a
nos dois extremos horizontais. O esboço segue essa forma de função ímpar, com “campânula” entre
e
e ramos decrescentes além desses pontos.