Em cada um dos Problemas 1 a 3, esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se fé contínua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= t^2, & 0 <= t <= 1, 2+t, & 1 < t <= 2, 6-t, & 2 < t <= 3,
e pede (a) um esboço do gráfico em 0<= t<=3 e (b) verificar se é contínua, secionalmente contínua ou nenhuma das duas. Vamos usar conceitos de limites laterais e continuidade de função por partes.

Passo 2

Esboço do gráfico em palavras:
  • Para 0<= t<=1, f(t)=t^2 é o ramo de parábola de vértice em (0,0) até (1,1), ambos pontos fechados.
  • Para 1<t<=2, f(t)=2+t é uma reta crescente que parte de (1,3) (círculo aberto) e chega a (2,4) (círculo fechado).
  • Para 2<t<=3, f(t)=6-t é uma reta decrescente que parte de (2,4) (círculo aberto) e chega a (3,3) (círculo fechado).

Passo 3

Analisando continuidade em cada ponto crítico:
  1. Em t=1:
    limtto1^-f(t)=1^2=1,
    f(1)=1,
    limtto1^+f(t)=2+1=3
    Há descontinuidade do tipo salto, pois lim1^-neqlim1^+
  2. Em t=2:
    limtto2^-f(t)=2+2=4,
    f(2)=4,
    limtto2^+f(t)=6-2=4
    Aqui a função é contínua, pois limites laterais e valor coincidem.
  3. Nos extremos:
    • Em t=0: limtto0^+f(t)=0=f(0).
    • Em t=3: limtto3^-f(t)=6-3=3=f(3).
      Logo, contínua em 0 e em 3.

Passo 4

Como há apenas um salto em t=1, a função não é contínua em todo [0,3], mas é contínua em cada subintervalo aberto onde está definida numa lei única e tem um número finito de descontinuidades do tipo salto.

Resposta

A função é secionalmente contínua em [0,3].

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