Em cada um dos Problemas 1 a 3, esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se fé contínua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede (a) um esboço do gráfico em 0<= t<=3 e (b) verificar se é contínua, secionalmente contínua ou nenhuma das duas. Vamos usar conceitos de limites laterais e continuidade de função por partes.
Passo 2
Esboço do gráfico em palavras:
Para 0<= t<=1, f(t)=t^2 é o ramo de parábola de vértice em (0,0) até (1,1), ambos pontos fechados.
Para 1<t<=2, f(t)=2+t é uma reta crescente que parte de (1,3) (círculo aberto) e chega a (2,4) (círculo fechado).
Para 2<t<=3, f(t)=6-t é uma reta decrescente que parte de (2,4) (círculo aberto) e chega a (3,3) (círculo fechado).
Passo 3
Analisando continuidade em cada ponto crítico:
Em t=1: limtto1^-f(t)=1^2=1, f(1)=1, limtto1^+f(t)=2+1=3
Há descontinuidade do tipo salto, pois lim1^-neqlim1^+
Em t=2: limtto2^-f(t)=2+2=4, f(2)=4, limtto2^+f(t)=6-2=4
Aqui a função é contínua, pois limites laterais e valor coincidem.
Nos extremos:
Em t=0: limtto0^+f(t)=0=f(0).
Em t=3: limtto3^-f(t)=6-3=3=f(3).
Logo, contínua em 0 e em 3.
Passo 4
Como há apenas um salto em t=1, a função não é contínua em todo [0,3], mas é contínua em cada subintervalo aberto onde está definida numa lei única e tem um número finito de descontinuidades do tipo salto.