Para cada uma das funções
abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função
tem máximos e mínimos locais e também descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos de máximo e mínimo, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função é:
Vamos calcular a derivada
:
A derivada de
é
e a derivada de
usando a regra da cadeia é
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais. Então, resolvemos:
Isso ocorre quando:
-
-
ou seja,
Vamos resolver cada caso:
-
acontece quando (considerando o intervalo de a ). -
acontece quando e .
Passo 4
Com os valores de
onde a derivada é zero, agora vamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Uma maneira simples de fazer isso é analisando o sinal da derivada antes e depois desses pontos.
Vamos dividir o intervalo
em partes com base nos pontos críticos:
.
-
Entre
e :
Escolha.
Então,(função está crescendo). -
Entre
e :
Escolha.
Então,(função está decrescendo). -
Entre
e :
Escolha.
Então,(porque , função está crescendo). -
Entre
e :
Escolha.
Então,(função está decrescendo).
Passo 5
Agora, vamos resumir os resultados:
-
Pontos Criticos:
-
: Precisamos verificar o comportamento, mas geralmente é um ponto de inflexão. -
: Mudança de crescente para decrescente — máximo local. -
: Mudança de decrescente para crescente — mínimo local. -
: Mudança de crescente para decrescente — máximo local. -
: Também um ponto de inflexão, similar a .
-
-
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescente:
e - Decrescente:
e
- Crescente:
Resposta
Os pontos de máximo local ocorrem em
e
, e o ponto de mínimo local ocorre em
. A função
está crescente nos intervalos
e
, e decrescente nos intervalos
e
.