Para cada uma das funções f abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
f(x)=cos (x)-cos ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função tem máximos e mínimos locais e também descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos de máximo e mínimo, precisamos encontrar a derivada da função f(x) = cos(x) - cos^2(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função é:
f'(x) = -sin(x) - (-2cos(x)sin(x))
Vamos calcular a derivada f'(x) = -sin(x) + 2cos(x)sin(x) :
A derivada de f'(x) = sin(x)(-1 + 2cos(x)) é e a derivada de usando a regra da cadeia é . Assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais. Então, resolvemos:
f'(x) = sin(x)(-1 + 2cos(x)) = 0
Isso ocorre quando:
  1. ou seja,
Vamos resolver cada caso:
  1. acontece quando (considerando o intervalo de a ).
  2. acontece quando e .

Passo 4

Com os valores de onde a derivada é zero, agora vamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Uma maneira simples de fazer isso é analisando o sinal da derivada antes e depois desses pontos.
Vamos dividir o intervalo em partes com base nos pontos críticos: .
  • Entre e :
    Escolha .


    Então, (função está crescendo).
  • Entre e :
    Escolha .


    Então, (função está decrescendo).
  • Entre e :
    Escolha .


    Então, (porque , função está crescendo).
  • Entre e :
    Escolha .


    Então, (função está decrescendo).

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados:
  • Pontos Criticos:
    • : Precisamos verificar o comportamento, mas geralmente é um ponto de inflexão.
    • : Mudança de crescente para decrescente — máximo local.
    • : Mudança de decrescente para crescente — mínimo local.
    • : Mudança de crescente para decrescente — máximo local.
    • : Também um ponto de inflexão, similar a .
  • Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
    • Crescente: e
    • Decrescente: e

Resposta

Os pontos de máximo local ocorrem em e , e o ponto de mínimo local ocorre em . A função está crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos e .

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