Seja (an) uma sequência de números reais.
Se an=3 n^2+15 n^2-1, mostre, usando a definição de limite, que lim n +infty an=35.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite (ε–N), que a sequência an=3n^2+15n^2-1 converge para tfrac35 quando nto+infty. Para isso, vamos precisar manipular algebricamente |an-tfrac35| e achar um N(varepsilon) que garanta |an-tfrac35| para todo n>N.

Passo 2

Começamos calculando a diferença entre an e o limite proposto:
|an-tfrac35| = gl|3n^2+15n^2-1 - 35gr| = l|5(3n^2+1) - 3(5n^2-1)5(5n^2-1)r|
No numerador:
5(3n^2+1) - 3(5n^2-1) = 15n^2 + 5 - 15n^2 + 3 = 8
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|an-tfrac35| = 825n^2 - 5

Passo 3

Para estimar esse valor, note que para n>=1 temos 25n^2-5 >= 20n^2. Então
$$|a_n-\tfrac{3}{5}| = \frac{8}{25n^2 -5} \le \frac{8}{20n^2} = \frac{2}{5n^2}.
$$
Assim basta controlar |an-tfrac35| = 825n^2 -5 <= 820n^2 = 25n^2 .

Passo 4

Queremos 25n^2, ou seja
n^2>25varepsilon Longrightarrow n>raiz25varepsilon
Definimos
N = maxl1,,lceilraiztfrac25varepsilonrceilr
Então, sempre que n>N, temos |an-tfrac35| <= tfrac25n^2.

Passo 5

Concluímos pela definição de limite que para todo varepsilon>0 existe N tal que |an-tfrac35| sempre que n>N. Portanto
limnto+infty an = 35

Resposta

limnto+inftyan = tfrac35.

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