Para cada uma das funções f e g abaixo, encontre o domínio e determine as expressão de f circ g, f circ f, g circ f e g circ g:
f(x)=sen(x) e g(x)=raizx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio das funções e . Além disso, precisamos determinar as expressões das composições , , e . Vamos usar conceitos de funções e suas composições para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de Dom(f) = R para os quais a função está definida.
A função seno, , está definida para todos os números reais. Ou seja, não tem restrição de valores para .
Então, o domínio de é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função Dom(g) = x in R mid x >= 0 .
A função raiz quadrada, , só está definida quando o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Portanto, o domínio de é:

Passo 4

Vamos agora encontrar a composição (f circ g)(x) = f(g(x)) = sen(raizx) . Isso significa que vamos aplicar a função Dom(f circ g) = x in R mid x >= 0 depois de aplicar a função .
Matematicamente, é:
Domínio de :
Para determinar o domínio da composição, precisamos que esteja dentro do domínio de . Já sabemos que , então não há restrições adicionais além das de .
Logo:

Passo 5

Vamos encontrar a composição (f circ f)(x) = f(f(x)) = sen(sen(x)) . Isso significa aplicar a função Dom(f circ f) = R duas vezes.
Matematicamente:
Domínio de :
A função interna está definida para todo . Como sempre retorna valores entre -1 e 1, e está definida para todos os reais, não há restrições no domínio.
Então:

Passo 6

Agora, vamos determinar (g circ f)(x) = g(f(x)) = raizsen(x) . Isso significa aplicar a função x in [0, pi] + 2pi n, n in Z depois de aplicar a função Dom(g circ f) = x in R mid sen(x) >= 0 = [0, pi] + 2pi n, n in Z .
Matematicamente:
Domínio de :
Para que esteja definida, é necessário que . Sabemos que o seno é não negativo quando:
Ou seja, em intervalos onde o ângulo está entre 0 e mais qualquer múltiplo de .
Então:

Passo 7

Por fim, vamos encontrar (g circ g)(x) = g(g(x)) = raizraizx = x^1/4 . Isso significa aplicar a função Dom(g circ g) = x in R mid x >= 0 duas vezes.
Matematicamente:
Domínio de :
A função interna requer que . A função externa também exige que seu argumento seja maior ou igual a zero, o que já está garantido pela função interna.
Portanto:

Resposta

Domínios das funções:
Dom(f) = R, Dom(g) = x in R mid x >= 0
Composições das funções:
(f circ g)(x) = sen(raizx), Dom(f circ g) = x in R mid x >= 0

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