Para cada uma das funções
e
abaixo, encontre o domínio e determine as expressão de
e
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio das funções e
. Além disso, precisamos determinar as expressões das composições
,
,
e
. Vamos usar conceitos de funções e suas composições para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função seno, , está definida para todos os números reais. Ou seja, não tem restrição de valores para
.
Então, o domínio de
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função
.
A função raiz quadrada,
, só está definida quando o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.
Portanto, o domínio de
é:
Passo 4
Vamos agora encontrar a composição
. Isso significa que vamos aplicar a função
depois de aplicar a função
.
Matematicamente, é:
Domínio de
:
Para determinar o domínio da composição, precisamos que
esteja dentro do domínio de
. Já sabemos que
, então não há restrições adicionais além das de
.
Logo:
Passo 5
Vamos encontrar a composição
. Isso significa aplicar a função
duas vezes.
Matematicamente:
Domínio de
:
A função interna está definida para todo
. Como sempre retorna valores entre -1 e 1, e
está definida para todos os reais, não há restrições no domínio.
Então:
Passo 6
Agora, vamos determinar
. Isso significa aplicar a função
depois de aplicar a função
.
Matematicamente:
Domínio de
:
Para que esteja definida, é necessário que . Sabemos que o seno é não negativo quando:
Ou seja, em intervalos onde o ângulo está entre 0 e
mais qualquer múltiplo de
.
Então:
Passo 7
Por fim, vamos encontrar
. Isso significa aplicar a função
duas vezes.
Matematicamente:
Domínio de
:
A função interna
requer que
. A função externa
também exige que seu argumento seja maior ou igual a zero, o que já está garantido pela função interna.
Portanto:
Resposta
Domínios das funções:
Composições das funções: