Marque com um X (no espaço indicado) os conjuntos E subseteq R^2 dados abaixo que satisfizerem a condição: int (partial E) neq emptyset.
( ) E=(x, 3 x): x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um determinado conjunto $ E \subseteq \mathbb{R}^{2} $ satisfaz a condição de que a parte interior da sua fronteira ($ int(\partial E) $) não está vazia. A matéria que estamos lidando aqui envolve topologia e geometria analítica. Para resolver, precisamos entender o que são fronteira e interior de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto $ E $. A fronteira de $ E $, denotada por $ \partial E $, é formada pelos pontos que estão “na borda” de $ E $, ou seja, pontos onde qualquer vizinhança desse ponto contém pontos dentro de $ E $ e fora de $ E $.

Passo 3

Agora, o interior de um conjunto $ A $, denotado por $ int(A) $, é o conjunto de todos os pontos de $ A $ que têm uma vizinhança completamente contida em $ A $. Então, quando o enunciado fala que $ int(\partial E) \neq \emptyset $, queremos dizer que existe pelo menos um ponto na fronteira de $ E $ que tem uma vizinhança inteira dentro da fronteira.

Passo 4

Vamos analisar o conjunto dado: $ E = {(x, 3x) : x \in \mathbb{R}} $. Esse conjunto representa todos os pontos no plano que satisfazem a equação $ y = 3x $, ou seja, é uma reta.

Passo 5

Sabemos que uma reta no plano é um conjunto fechado, mas não tem interior no espaço bidimensional. Isso significa que a fronteira de $ E $ é ela mesma, $ \partial E = E $.

Passo 6

Agora, vamos ver se a fronteira $ \partial E = E $ tem algum interior. Como uma reta bidimensional não “enche” nenhum espaço na região $ \mathbb{R}^{2} $, não há pontos na reta que tenham uma vizinhança inteira contida na reta. Portanto, $ int(\partial E) = \emptyset $.

Resposta

Não devemos marcar com um $ X $ para esse conjunto.

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