Marque com um
(no espaço indicado) os conjuntos
dados abaixo que satisfizerem a condição: int
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar um conjunto $ E \subseteq \mathbb{R}^{2} $ e verificar se a condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $ é verdadeira para ele. O conjunto dado é:
Vamos precisar entender conceitos de topologia, como o que é a fronteira de um conjunto ($ \partial E
int(\partial E) $).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fronteira do conjunto $ E $. A fronteira de um conjunto $ E $ no plano é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de $ E $ e de seu complemento.
No nosso caso, $ E $ é definido por $ 1 < x^{2} + y^{2} < 2 $. Isso descreve os pontos que estão entre dois círculos concêntricos: um de raio $ \sqrt{1} = 1 $ e outro de raio $ \sqrt{2} $.
Então, a fronteira $ \partial E $ será a união das duas circunferências:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a parte interior dessa fronteira, ou seja, $ int(\partial E) $. A parte interior de um conjunto é composta pelos pontos que têm uma vizinhança totalmente contida nesse conjunto.
No caso das circunferências $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e $ x^{2} + y^{2} = 2 $, cada uma é uma curva fechada e não tem “espessura” no plano. Isso significa que não há pontos nessas circunferências que tenham uma vizinhança inteira contida nelas.
Portanto:
Resposta
A condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $ não é satisfeita para o conjunto $ E = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : 1 < x^{2} + y^{2} < 2\right} $. Então, não devemos marcar com um $ X $ nesse caso.