Marque com um X (no espaço indicado) os conjuntos E subseteq R^2 dados abaixo que satisfizerem a condição: int (partial E) neq emptyset.
() E=(x, y) in R^2: 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar um conjunto $ E \subseteq \mathbb{R}^{2} $ e verificar se a condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $ é verdadeira para ele. O conjunto dado é:
E subseteq R^2
Vamos precisar entender conceitos de topologia, como o que é a fronteira de um conjunto ($ \partial E int(partial E) neq emptyset int(\partial E) $).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fronteira do conjunto $ E $. A fronteira de um conjunto $ E $ no plano é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de $ E $ e de seu complemento.
No nosso caso, $ E $ é definido por $ 1 < x^{2} + y^{2} < 2 $. Isso descreve os pontos que estão entre dois círculos concêntricos: um de raio $ \sqrt{1} = 1 $ e outro de raio $ \sqrt{2} $.
Então, a fronteira $ \partial E $ será a união das duas circunferências:
E

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a parte interior dessa fronteira, ou seja, $ int(\partial E) $. A parte interior de um conjunto é composta pelos pontos que têm uma vizinhança totalmente contida nesse conjunto.
No caso das circunferências $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e $ x^{2} + y^{2} = 2 $, cada uma é uma curva fechada e não tem “espessura” no plano. Isso significa que não há pontos nessas circunferências que tenham uma vizinhança inteira contida nelas.
Portanto:
int(partial E)

Resposta

A condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $ não é satisfeita para o conjunto $ E = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : 1 < x^{2} + y^{2} < 2\right} $. Então, não devemos marcar com um $ X $ nesse caso.

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