Explique por que a função f(x, y)=e^2 x cos (3 x y) é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=e^{2x}·cos(3xy) é diferenciável em (0,0). Vamos usar conceitos de funções diferenciáveis em várias variáveis, em particular que soma, produto e composição de funções diferenciáveis geram funções diferenciáveis.

Passo 2

Em ℝ^n, se h:ℝn→ℝm e g:ℝm→ℝp são diferenciáveis num ponto, então a composição g∘h é diferenciável nesse ponto. Além disso, soma e produto de funções diferenciáveis também são diferenciáveis.

Passo 3

No nosso caso podemos reescrever f como composição e produto de subfunções já conhecidas: 1) (x,y)↦2x é diferenciável (é linear); 2) (x,y)↦3·(x·y) é diferenciável (produto e escalares são diferenciáveis); 3) g(u,v)=e^u é diferenciável em todo u∈ℝ; 4) h(u,v)=cos(v) é diferenciável em todo v∈ℝ. Logo f(x,y)=g(2x)·h(3xy) é produto de duas composições de diferenciáveis, portanto diferenciável em todo ponto, inclusive em (0,0).

Passo 4

Concluímos então que f é diferenciável em (0,0) por ser produto e composição de funções diferenciáveis (exponencial, cosseno, escalares e produto).

Resposta

A função é produto e composição de funções C^∞, logo é diferenciável em todo ℝ², em particular em (0,0).

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