Para cada uma das funções f(x, y) abaixo, responda às seguintes perguntas:
  • Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y).
  • Calcule a taxa de variação de f(x, y) no ponto (1,1) na direção \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right).
  • Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação no ponto ( 1,1 ).
  • Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
  • Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por (1,1).
Funções:
(b) f(x, y)=2 x+3 y

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e o que nos foi dado (sem resolver ainda).
  • Função fornecida: f(x,y)=2x+3y.
  • O enunciado pede, para essa função, as seguintes coisas:
    1. Encontrar o vetor gradiente \nabla f(x,y).
    2. Calcular a taxa de variação de f no ponto (1,1) na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
    3. Encontrar um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação no ponto (1,1).
    4. Encontrar a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
    5. Encontrar um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por (1,1).
Observação: todos os cálculos e vetores pedidos são referentes à função f(x,y)=2x+3y e, quando necessário, serão avaliados no ponto (1,1).

Passo 2

Definição e cálculo do gradiente.
  • Lembrete didático: o gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e y:
    \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
    Esse vetor aponta, em cada ponto, na direção de maior aumento instantâneo de f.
  • Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=2x+3y:
    \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2,\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3.
  • Logo,
    \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Como checagem: a função é linear, então o gradiente é constante (o mesmo em todo ponto), inclusive em (1,1):
    \nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo da taxa de variação direcional em (1,1) na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
  • Lembrete didático: a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} em um ponto é o produto interno (dot product) entre o gradiente nesse ponto e \mathbf{u}:
    D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}.
    Por isso é importante que \mathbf{u} seja unitário; o enunciado já deu um vetor unitário \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right) (verificação rápida: \sqrt{(3/5)^2+(4/5)^2}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{1}=1).
  • Usando \nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} e \mathbf{u}=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right):
    D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\\[6pt]\dfrac{4}{5}\end{pmatrix} =2\cdot\dfrac{3}{5}+3\cdot\dfrac{4}{5}.
  • Calcule passo a passo:
    2\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{5},\qquad 3\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{5},
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\dfrac{6}{5}+\dfrac{12}{5}=\dfrac{18}{5}.
  • Em forma decimal (apenas para intuição): \dfrac{18}{5}=3{,}6.]

Passo 4

Encontrar um vetor unitário que aponte na direção de maior aumento em (1,1).
  • Lembrete didático: a direção de máxima taxa de variação é exatamente a direção do gradiente. Para obter um vetor unitário nessa direção, normaliza-se o gradiente dividindo pelo seu comprimento (norma).
  • Calcule a norma (magnitude) do gradiente \nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}:
    \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
  • Portanto o vetor unitário na direção da taxa máxima é
    \mathbf{e}_{\text{máx}}=\dfrac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.á]

Passo 5

Encontrar a maior inclinação (maior taxa) de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
  • Lembrete didático: a maior inclinação da reta tangente (a maior taxa de variação direcional) em um ponto é o módulo da taxa máxima de variação, isto é, a norma do gradiente no ponto.
  • Já calculamos a norma:
    \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{13}.
  • Em decimal aproximado: \sqrt{13}\approx 3{,}606 (arredondando a três casas decimais).

Passo 6

Encontrar um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por (1,1).
  • Lembrete didático: curvas de nível de f são os conjuntos onde f(x,y) é constante. O gradiente é perpendicular a essas curvas em cada ponto. Logo, um vetor tangente à curva de nível em (1,1) deve ser ortogonal ao gradiente \nabla f(1,1)=(2,3).
  • Para encontrar um vetor ortogonal a (2,3), resolvemos (2,3)\cdot(v_1,v_2)=0, ou seja 2v_1+3v_2=0. Uma solução simples é escolher v_1=-3 e v_2=2 (pois 2(-3)+3(2)=-6+6=0). Então um vetor tangente é (-3,2).
  • Normalize esse vetor para obter um vetor unitário:
    \|( -3,2)\|=\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
\mathbf{t}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Observação: também poderia-se usar o vetor oposto \dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}; ambos são tangentes à curva de nível, apenas com sentidos opostos.]

Resposta

\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}\n
D_{\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)}f(1,1)=\dfrac{18}{5}=3{,}6\n
\displaystyle \mathbf{e}_{\text{máx}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}á\n
\displaystyle \text{Maior inclinação}=\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{13}\approx 3{,}606çã\n
\displaystyle \mathbf{t}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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