Cálculo da taxa de variação direcional em (1,1) na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
Lembrete didático: a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} em um ponto é o produto interno (dot product) entre o gradiente nesse ponto e \mathbf{u}:
Por isso é importante que \mathbf{u} seja unitário; o enunciado já deu um vetor unitário \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right) (verificação rápida: \sqrt{(3/5)^2+(4/5)^2}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{1}=1).
Usando \nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} e \mathbf{u}=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right):
Em forma decimal (apenas para intuição): \dfrac{18}{5}=3{,}6.]
Passo 4
Encontrar um vetor unitário que aponte na direção de maior aumento em (1,1).
Lembrete didático: a direção de máxima taxa de variação é exatamente a direção do gradiente. Para obter um vetor unitário nessa direção, normaliza-se o gradiente dividindo pelo seu comprimento (norma).
Calcule a norma (magnitude) do gradiente \nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}:
Encontrar a maior inclinação (maior taxa) de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
Lembrete didático: a maior inclinação da reta tangente (a maior taxa de variação direcional) em um ponto é o módulo da taxa máxima de variação, isto é, a norma do gradiente no ponto.
Já calculamos a norma:
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{13}.
Em decimal aproximado: \sqrt{13}\approx 3{,}606 (arredondando a três casas decimais).
Passo 6
Encontrar um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por (1,1).
Lembrete didático: curvas de nível de f são os conjuntos onde f(x,y) é constante. O gradiente é perpendicular a essas curvas em cada ponto. Logo, um vetor tangente à curva de nível em (1,1) deve ser ortogonal ao gradiente \nabla f(1,1)=(2,3).
Para encontrar um vetor ortogonal a (2,3), resolvemos (2,3)\cdot(v_1,v_2)=0, ou seja 2v_1+3v_2=0. Uma solução simples é escolher v_1=-3 e v_2=2 (pois 2(-3)+3(2)=-6+6=0). Então um vetor tangente é (-3,2).
Normalize esse vetor para obter um vetor unitário:
Observação: também poderia-se usar o vetor oposto \dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}; ambos são tangentes à curva de nível, apenas com sentidos opostos.]