Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x tratando y como constante; e \frac{\partial f}{\partial y} é derivar em relação a y tratando x como constante. Vou aplicar regras básicas de derivação (regra do produto e potência).
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}. Como f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}, trate y como constante:
Para \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y): y é constante, então deriva-se x^{2} dando 2x, multiplicado por y -> 2xy.
Para \frac{\partial}{\partial x}(xy^{3}): y^{3} é constante, deriva-se x dando 1, então resulta y^{3}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^{3}.
Passo 3
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}. Agora trate x como constante:
Para \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y): x^{2} é constante, deriva-se y dando 1, então resulta x^{2}.
Para \frac{\partial}{\partial y}(xy^{3}): x é constante, deriva-se y^{3} dando 3y^{2}, multiplicado por x -> 3xy^{2}.
Portanto
Agora vamos calcular a taxa de variação na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right). Primeiro a fórmula: a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
Explicar por que a direção de maior variação e a maior inclinação são facilmente encontradas usando o gradiente.
Direção de maior variação: para uma função de duas variáveis, a derivada direcional em qualquer unidade \mathbf{u} vale \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}=\|\nabla f(1,1)\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \nabla f(1,1) e \mathbf{u}. Esse produto é maximizado quando \cos\theta=1, ou seja, quando \mathbf{u} está na mesma direção de \nabla f(1,1). Logo a direção de máxima taxa de variação é a direção do gradiente.
(Observação simpática: esse é exatamente o vetor-direção que o enunciado já deu.)
Maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1): como a inclinação da reta tangente na direção \mathbf{u} é a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(1,1), a maior inclinação possível é o máximo desses valores, que é \|\nabla f(1,1)\|=5.
Passo 7
Encontrar um vetor unitário sobre uma reta tangente à curva de nível que passa por (1,1).
Explicação: uma curva de nível é o conjunto \{(x,y):f(x,y)=c\}. Ao andar sobre essa curva o valor de f não muda, então a derivada direcional ao longo da tangente da curva de nível é zero. Assim, o vetor tangente \mathbf{t} satisfaz \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{t}=0; ou seja, a tangente é ortogonal ao gradiente.
Temos \nabla f(1,1)=(3,4). Precisamos achar um vetor (a,b) tal que 3a+4b=0. Uma solução simples é (4,-3) (substituindo: 3\cdot4+4\cdot(-3)=12-12=0). Normalizando (4,-3):
\|(4,-3)\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=5.
Assim um vetor unitário tangente é
\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).
(A outra direção possível é o oposto \left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right); ambas estão sobre a reta tangente.)
Resposta
\nabla f(x,y)=\bigl(2xy+y^{3},\;x^{2}+3xy^{2}\bigr),\quad \nabla f(1,1)=(3,4) D_{\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)}f(1,1)=5
Um vetor unitário na direção da taxa máxima em (1,1): \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)
Maior inclinação de reta tangente em (1,1): 5
Um vetor unitário tangente à curva de nível em (1,1): \left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)