Para cada uma das funções f(x, y) abaixo, responda às seguintes perguntas:
  • Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y).
  • Calcule a taxa de variação de f(x, y) no ponto (1,1) na direção \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right).
  • Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação no ponto ( 1,1 ).
  • Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
  • Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente a uma curva de nível que passa por (1,1).
Funções:
(c) f(x, y)=x^{2} y+x y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^{2}y+xy^{3} e pede, para essa função, as seguintes respostas:
  • Encontre o vetor gradiente \nabla f(x,y).
  • Calcule a taxa de variação de f no ponto (1,1) na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
  • Encontre um vetor unitário que aponte na direção da taxa máxima de variação no ponto (1,1).
  • Encontre a maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1).
  • Encontre um vetor unitário que esteja sobre uma reta tangente à curva de nível que passa por (1,1).
Informações dadas explicitamente: a expressão de f(x,y) e a direção unitária \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).

Passo 2

Vamos calcular o gradiente. Primeiro, o que é gradiente? O vetor gradiente \nabla f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x tratando y como constante; e \frac{\partial f}{\partial y} é derivar em relação a y tratando x como constante. Vou aplicar regras básicas de derivação (regra do produto e potência).
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}. Como f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}, trate y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) + \frac{\partial}{\partial x}(xy^{3}).
Para \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y): y é constante, então deriva-se x^{2} dando 2x, multiplicado por y -> 2xy.
Para \frac{\partial}{\partial x}(xy^{3}): y^{3} é constante, deriva-se x dando 1, então resulta y^{3}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^{3}.

Passo 3

Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}. Agora trate x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^{3}).
Para \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y): x^{2} é constante, deriva-se y dando 1, então resulta x^{2}.
Para \frac{\partial}{\partial y}(xy^{3}): x é constante, deriva-se y^{3} dando 3y^{2}, multiplicado por x -> 3xy^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+3xy^{2}.
Juntando as componentes, o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(2xy+y^{3},\;x^{2}+3xy^{2}\bigr).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto (1,1). Substituindo x=1 e y=1 nas fórmulas:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot1\cdot1+1^{3}=2+1=3,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=1^{2}+3\cdot1\cdot1^{2}=1+3=4.
Logo
\nabla f(1,1)=(3,4).

Passo 5

Agora vamos calcular a taxa de variação na direção \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right). Primeiro a fórmula: a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot \mathbf{u},
isto é, produto escalar entre o gradiente no ponto e \mathbf{u}. Verifique que o vetor dado é unitário:
\left\|\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{1}=1.
Então aplique o produto escalar com \nabla f(1,1)=(3,4):
D_{\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)}f(1,1)=3\cdot\frac{3}{5}+4\cdot\frac{4}{5}=\frac{9+16}{5}=\frac{25}{5}=5.

Passo 6

Explicar por que a direção de maior variação e a maior inclinação são facilmente encontradas usando o gradiente.
  1. Direção de maior variação: para uma função de duas variáveis, a derivada direcional em qualquer unidade \mathbf{u} vale \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{u}=\|\nabla f(1,1)\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \nabla f(1,1) e \mathbf{u}. Esse produto é maximizado quando \cos\theta=1, ou seja, quando \mathbf{u} está na mesma direção de \nabla f(1,1). Logo a direção de máxima taxa de variação é a direção do gradiente.
  2. Vetor unitário nessa direção: normalizando \nabla f(1,1)=(3,4):
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5.
Então um vetor unitário na direção de máxima variação é
\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
(Observação simpática: esse é exatamente o vetor-direção que o enunciado já deu.)
  1. Maior inclinação de qualquer reta tangente ao gráfico no ponto (1,1): como a inclinação da reta tangente na direção \mathbf{u} é a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(1,1), a maior inclinação possível é o máximo desses valores, que é \|\nabla f(1,1)\|=5.

Passo 7

Encontrar um vetor unitário sobre uma reta tangente à curva de nível que passa por (1,1).
Explicação: uma curva de nível é o conjunto \{(x,y):f(x,y)=c\}. Ao andar sobre essa curva o valor de f não muda, então a derivada direcional ao longo da tangente da curva de nível é zero. Assim, o vetor tangente \mathbf{t} satisfaz \nabla f(1,1)\cdot\mathbf{t}=0; ou seja, a tangente é ortogonal ao gradiente.
Temos \nabla f(1,1)=(3,4). Precisamos achar um vetor (a,b) tal que 3a+4b=0. Uma solução simples é (4,-3) (substituindo: 3\cdot4+4\cdot(-3)=12-12=0). Normalizando (4,-3):
\|(4,-3)\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=5.
Assim um vetor unitário tangente é
\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).
(A outra direção possível é o oposto \left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right); ambas estão sobre a reta tangente.)

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(2xy+y^{3},\;x^{2}+3xy^{2}\bigr),\quad \nabla f(1,1)=(3,4)
D_{\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)}f(1,1)=5
Um vetor unitário na direção da taxa máxima em (1,1): \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)
Maior inclinação de reta tangente em (1,1): 5
Um vetor unitário tangente à curva de nível em (1,1): \left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)

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