Para cada uma das funções \mathrm{f}: \mathrm{I} \rightarrow \mathbb{R} abaixo, onde \mathrm{I} \subseteq \mathbb{R}, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
f(x) \doteq x^{2} \cdot(x-12)^{2}, \quad para x \in I

Passo 1

O enunciado pede: para a função \displaystyle f(x)=x^{2}(x-12)^{2}, com x\in I\subseteq\mathbb{R}, determinar:
  • os pontos de máximo e de mínimos locais (relativos);
  • os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente.
Informações dadas:
f(x)=x^{2}(x-12)^{2}.
Observação sobre o domínio: o enunciado deixou I genérico. Vou analisar a função em toda a reta real, ou seja, considerar I=\mathbb{R}. Se o seu I for um subconjunto próprio de \mathbb{R}, as conclusões valem restringindo os pontos e intervalos que eu indicar àquele I.

Passo 2

Conceito útil (rápida revisão): pontos críticos são os x onde a derivada f'(x) é zero ou não existe. Para estudar monotonicidade calculamos f'(x) e vemos seu sinal. Para classificar extremos usamos o teste da primeira derivada (mudança de sinal de f') ou o teste da segunda derivada (sinal de f'' em um crítico).
Vamos calcular f'(x) passo a passo. Observação prática: é conveniente notar que
f(x) = \big(x^{2}-12x\big)^{2}.
Defina g(x)=x^{2}-12x. Então f(x)=\big(g(x)\big)^{2}. Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).
Agora g'(x)=2x-12=2(x-6). Substituindo:
f'(x)=2\big(x^{2}-12x\big)\cdot 2(x-6)=4\big(x^{2}-12x\big)(x-6).
Fatorando x^{2}-12x=x(x-12) obtemos a forma fatorada:
f'(x)=4\,x\,(x-6)\,(x-12).

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolvemos f'(x)=0. Como o fator 4 é sempre positivo, as raízes vêm dos fatores lineares:
x=0,\qquad x=6,\qquad x=12.
Não há pontos onde f' seja indefinida (é polinomial). Portanto os pontos críticos são \{0,6,12\}.

Passo 4

Estudar sinais de f'(x) para determinar monotonicidade. Como f'(x)=4\,x\,(x-6)\,(x-12), basta analisar o sinal do produto x\,(x-6)\,(x-12). Considere os intervalos determinados pelas raízes:
  • em (-\infty,0): tome x=-1. Então os fatores são (-), (-), (-) ⇒ produto é (-). Logo f'(x)<0 em (-\infty,0).
  • em (0,6): tome x=3. Fatores: (+),(-),(-) ⇒ produto é (+). Logo f'(x)>0 em (0,6).
  • em (6,12): tome x=9. Fatores: (+),(+),(-) ⇒ produto é (-). Logo f'(x)<0 em (6,12).
  • em (12,\infty): tome x=13. Fatores: (+),(+),(+) ⇒ produto é (+). Logo f'(x)>0 em (12,\infty).
Portanto:
  • f é decrescente em (-\infty,0);
  • f é crescente em (0,6);
  • f é decrescente em (6,12);
  • f é crescente em (12,\infty).

Passo 5

Classificação dos extremos pela variação de sinal de f':
  • Em x=0: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ temos um mínimo local em x=0.
  • Em x=6: f' muda de positivo para negativo ⇒ temos um máximo local em x=6.
  • Em x=12: f' muda de negativo para positivo ⇒ temos um mínimo local em x=12.
Calcule os valores da função nesses pontos:
f(0)=0^{2}(0-12)^{2}=0,
f(6)=6^{2}(6-12)^{2}=36\cdot 36=1296,
f(12)=12^{2}(12-12)^{2}=0.
Observação extra (teste da segunda derivada, para confirmar): podemos derivar f'(x)=4(x^{3}-18x^{2}+72x) e obter
f''(x)=12(x^{2}-12x+24).
Avaliações: f''(0)=12\cdot 24=288>0 (mínimo), f''(6)=12(36-72+24)=12(-12)=-144<0 (máximo), f''(12)=288>0 (mínimo). Isso confirma as classificações.
Além disso, como f(x)=x^{2}(x-12)^{2}\ge 0 para todo x e f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty (termo dominante x^{4}), os mínimos em x=0 e x=12 são mínimos globais com valor 0. Não existe máximo global (a função cresce sem limite).

Resposta

Mínimos locais e seus valores: x=0, f(0)=0; x=12, f(12)=0.
Máximo local e seu valor: x=6, f(6)=1296.
Intervalos de crescimento: (0,6) e (12,\infty).
Intervalos de decrescimento: (-\infty,0) e (6,12).

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