Para cada uma das funções
abaixo, onde
, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
para
Passo 1
O enunciado pede: para a função
, com
, determinar:
- os pontos de máximo e de mínimos locais (relativos);
- os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente.
Informações dadas:
Observação sobre o domínio: o enunciado deixou
genérico. Vou analisar a função em toda a reta real, ou seja, considerar
. Se o seu
for um subconjunto próprio de
, as conclusões valem restringindo os pontos e intervalos que eu indicar àquele
.
Passo 2
Conceito útil (rápida revisão): pontos críticos são os
onde a derivada
é zero ou não existe. Para estudar monotonicidade calculamos
e vemos seu sinal. Para classificar extremos usamos o teste da primeira derivada (mudança de sinal de
) ou o teste da segunda derivada (sinal de
em um crítico).
Vamos calcular
passo a passo. Observação prática: é conveniente notar que
Defina
. Então
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
Agora
. Substituindo:
Fatorando
obtemos a forma fatorada:
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolvemos
. Como o fator
é sempre positivo, as raízes vêm dos fatores lineares:
Não há pontos onde
seja indefinida (é polinomial). Portanto os pontos críticos são
.
Passo 4
Estudar sinais de
para determinar monotonicidade. Como
, basta analisar o sinal do produto
. Considere os intervalos determinados pelas raízes:
- em
: tome . Então os fatores são , , ⇒ produto é . Logo em . - em
: tome . Fatores: ⇒ produto é . Logo em . - em
: tome . Fatores: ⇒ produto é . Logo em . - em
: tome . Fatores: ⇒ produto é . Logo em .
Portanto:
-
é decrescente em ; -
é crescente em ; -
é decrescente em ; -
é crescente em .
Passo 5
Classificação dos extremos pela variação de sinal de
:
- Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ temos um mínimo local em . - Em
: muda de positivo para negativo ⇒ temos um máximo local em . - Em
: muda de negativo para positivo ⇒ temos um mínimo local em .
Calcule os valores da função nesses pontos:
Observação extra (teste da segunda derivada, para confirmar): podemos derivar
e obter
Avaliações:
(mínimo),
(máximo),
(mínimo). Isso confirma as classificações.
Além disso, como
para todo
e
quando
(termo dominante
), os mínimos em
e
são mínimos globais com valor
. Não existe máximo global (a função cresce sem limite).
Resposta
Mínimos locais e seus valores:
,
;
,
.
Máximo local e seu valor: ,
.
Intervalos de crescimento: e
.
Intervalos de decrescimento: e
.
Máximo local e seu valor:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento: