Calcule os limites:
;
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas:
aproxima-se de
;
a função em análise é .
Observação importante extraída do enunciado: no ponto alvo temos , então não há problema de divisão por zero exatamente em
.
Informações relevantes dadas:
a função em análise é
Observação importante extraída do enunciado: no ponto alvo temos
Passo 2
Ideia de resolução (explicada passo a passo, sem usar jargões difíceis):
- Primeiro vou usar que as funções coordenadas
e são contínuas; portanto e . - Existe uma regra de limites que diz: se
e com , então . Vou aplicar isso a e . É seguro porque o limite de é . - Depois, uso que
(a função arco-tangente) é contínua em toda . Para funções contínuas vale: sempre que o limite de exista. Então posso trocar limite e .
Vou agora executar esse plano com contas explícitas.
Passo 3
Calcular limites das coordenadas (explicando por que é trivial):
porque a projeção no eixo é contínua (aproximar
por
leva
a aproximar-se de
).
pela mesma razão para a projeção no eixo .
porque a projeção no eixo
pela mesma razão para a projeção no eixo
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Como , temos
Como
Aqui usei apenas as propriedades básicas de limites (limite da razão = razão dos limites quando denominador do limite é não nulo).
Passo 5
Aplicar continuidade de
:
Como é contínua em toda
, podemos passar o limite para dentro:
Como