Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,4)} \operatorname{arctg} \frac{y}{x};

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} \operatorname{arctg}\frac{y}{x}.
Informações relevantes dadas:
\; (x,y) aproxima-se de (4,4);
a função em análise é \displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname{arctg}\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr).
Observação importante extraída do enunciado: no ponto alvo temos \;x=4\neq 0\;, então não há problema de divisão por zero exatamente em (4,4).

Passo 2

Ideia de resolução (explicada passo a passo, sem usar jargões difíceis):
  1. Primeiro vou usar que as funções coordenadas x\mapsto x e y\mapsto y são contínuas; portanto \lim_{(x,y)\to(4,4)} x = 4 e \lim_{(x,y)\to(4,4)} y = 4.
  2. Existe uma regra de limites que diz: se \lim f = L e \lim g = M com M\neq 0, então \lim (f/g) = L/M. Vou aplicar isso a f(x,y)=y e g(x,y)=x. É seguro porque o limite de x é 4\neq 0.
  3. Depois, uso que \operatorname{arctg} (a função arco-tangente) é contínua em toda \mathbb{R}. Para funções contínuas vale: \lim \operatorname{arctg}(u_{n}) = \operatorname{arctg}(\lim u_{n}) sempre que o limite de u_n exista. Então posso trocar limite e \operatorname{arctg}.
Vou agora executar esse plano com contas explícitas.

Passo 3

Calcular limites das coordenadas (explicando por que é trivial):
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} y = 4,
porque a projeção no eixo y é contínua (aproximar (x,y) por (4,4) leva y a aproximar-se de 4).
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} x = 4,
pela mesma razão para a projeção no eixo x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
Como \displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} x = 4 \neq 0, temos
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} \frac{y}{x} = \frac{\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} y}{\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} x} = \frac{4}{4} = 1.
Aqui usei apenas as propriedades básicas de limites (limite da razão = razão dos limites quando denominador do limite é não nulo).

Passo 5

Aplicar continuidade de \operatorname{arctg}:
Como \operatorname{arctg} é contínua em toda \mathbb{R}, podemos passar o limite para dentro:
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(4,4)} \operatorname{arctg}\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr) = \operatorname{arctg}\!\left(\lim_{(x,y)\to(4,4)} \frac{y}{x}\right) = \operatorname{arctg}(1).

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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