Para cada uma das funções
abaixo, onde
, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
para
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para
. As perguntas são:
- Determinar os pontos de máximo e de mínimos locais (relativos).
- Determinar os intervalos onde a função
é crescente ou decrescente.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O conjunto
não foi especificado explicitamente; portanto consideraremos primeiro o caso natural e depois comentaremos o que muda para um intervalo qualquer .
Passo 2
Antes de calcular derivadas, preciso lembrar o que é
e algumas propriedades úteis (explico bem para você conseguir reproduzir na prova):
Definição e propriedades básicas:
- A função hiperbólica seno é dada por
. - A função hiperbólica cosseno é
. - Propriedade importante: para todo
temos . Em particular, para todo .
Derivadas básicas:
-
. -
.
Regra da cadeia (lembrando passo a passo):
- Se
com constante, então . - Vou usar isso para derivar
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para
:
Expliquei: primeiro derivamos
(dá
avaliada em
) e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 4
Agora buscamos pontos críticos (onde
ou
indefinida).
- Temos
. - Resolver
equivale a ou . - Mas lembrando a propriedade,
para todo , então para todo . Logo não existe com . - Além disso
está definida para todo .
Conclusão deste passo: não há pontos críticos interiores (ou seja, nenhum
tal que
ou
indefinida).
Passo 5
Determinação de monotonicidade (vou usar um teorema padrão e mostrar porquê ele vale aqui):
- Teorema útil (resumo): se uma função
é diferenciável em um intervalo e para todo nesse intervalo, então é estritamente crescente nesse intervalo. Uma maneira de ver isso é usar o Teorema do Valor Médio: para existe com . Se então , ou seja .
Aplicando ao nosso caso:
-
para todo . - Portanto
é estritamente crescente em qualquer intervalo contido em . Em particular, se , é estritamente crescente em .
Não há nenhum intervalo onde
seja decrescente porque a derivada nunca fica negativa.
Passo 6
Pontos de máximo e mínimo locais (relativos):
- Como
é estritamente crescente em qualquer intervalo interior do domínio, não existem pontos de máximo local nem mínimo local no interior de (assumindo é um intervalo). - Observação sobre extremos em extremos do intervalo
: se o domínio tiver extremos (por exemplo ), então como é crescente teremos o mínimo global em e o máximo global em . Se for aberto em um extremo (por exemplo ) então esse extremo não é ponto do domínio e portanto não conta como máximo/minimo da função sobre . - Exemplos concretos para fixar:
- Se
: nenhum máximo nem mínimo (a função cresce sem bound quando e tende a quando , então não há extremos globais). - Se
: atinge o mínimo em e o máximo em , porque é crescente.
- Se
- Exemplos concretos para fixar:
Passo 7
Resumo prático — o que você precisa saber para a prova e como responder rápido:
- Derive usando regra da cadeia:
. - Note que
sempre → derivada positiva sempre → função estritamente crescente em qualquer intervalo do domínio. - Logo: nenhum ponto crítico interno, nenhum máximo ou mínimo relativo no interior. Extremos só podem ocorrer em pontos extremos do domínio e, se existirem, o menor valor fica no extremo esquerdo e o maior no extremo direito (porque a função é crescente).
Resposta
Para
:
para todo
, portanto
é estritamente crescente em
e não possui máximos nem mínimos locais.
Para um intervalo qualquer
:
é estritamente crescente em
; não há máximos nem mínimos relativos no interior de
. Se
então o mínimo global ocorre em
e o máximo global em
.