Para cada uma das funções \mathrm{f}: \mathrm{I} \rightarrow \mathbb{R} abaixo, onde \mathrm{I} \subseteq \mathbb{R}, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
f(x) \doteq \operatorname{senh}(2 \cdot x), \quad para x \in I

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}: \mathrm{I}\rightarrow\mathbb{R} definida por \mathrm{f}(x)\doteq\operatorname{senh}(2\cdot x) para x\in\mathrm{I}\subseteq\mathbb{R}. As perguntas são:
  1. Determinar os pontos de máximo e de mínimos locais (relativos).
  2. Determinar os intervalos onde a função \mathrm{f} é crescente ou decrescente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \mathrm{f}(x)=\operatorname{senh}(2x).
  • O conjunto \mathrm{I} não foi especificado explicitamente; portanto consideraremos primeiro o caso natural \mathrm{I}=\mathbb{R} e depois comentaremos o que muda para um intervalo qualquer \mathrm{I}\subseteq\mathbb{R}.

Passo 2

Antes de calcular derivadas, preciso lembrar o que é \operatorname{senh} e algumas propriedades úteis (explico bem para você conseguir reproduzir na prova):
Definição e propriedades básicas:
  • A função hiperbólica seno é dada por \operatorname{senh}(x)=\operatorname{sinh}(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
  • A função hiperbólica cosseno é \operatorname{cosh}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
  • Propriedade importante: para todo x\in\mathbb{R} temos \operatorname{cosh}(x)\ge 1. Em particular, \operatorname{cosh}(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
Derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x).
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x).
Regra da cadeia (lembrando passo a passo):
  • Se g(x)=h(ax) com a constante, então g'(x)=a\cdot h'(ax).
  • Vou usar isso para derivar \operatorname{senh}(2x).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \mathrm{f}(x)=\operatorname{senh}(2x)=\operatorname{sinh}(2x):
\mathrm{f}'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(2x)=2\cdot\operatorname{cosh}(2x).
Expliquei: primeiro derivamos \operatorname{sinh} (dá \operatorname{cosh} avaliada em 2x) e multiplicamos pela derivada interna 2.

Passo 4

Agora buscamos pontos críticos (onde \mathrm{f}'(x)=0 ou \mathrm{f}' indefinida).
  • Temos \mathrm{f}'(x)=2\operatorname{cosh}(2x).
  • Resolver \mathrm{f}'(x)=0 equivale a 2\operatorname{cosh}(2x)=0 ou \operatorname{cosh}(2x)=0.
  • Mas lembrando a propriedade, \operatorname{cosh}(t)\ge1 para todo t, então \operatorname{cosh}(2x)>0 para todo x. Logo não existe x com \operatorname{cosh}(2x)=0.
  • Além disso \mathrm{f}'(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão deste passo: não há pontos críticos interiores (ou seja, nenhum x tal que \mathrm{f}'(x)=0 ou \mathrm{f}' indefinida).

Passo 5

Determinação de monotonicidade (vou usar um teorema padrão e mostrar porquê ele vale aqui):
  • Teorema útil (resumo): se uma função g é diferenciável em um intervalo e g'(x)>0 para todo x nesse intervalo, então g é estritamente crescente nesse intervalo. Uma maneira de ver isso é usar o Teorema do Valor Médio: para x_1<x_2 existe c\in(x_1,x_2) com g'\text{(c)}=\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}. Se g'\text{(c)}>0 então g(x_2)-g(x_1)>0, ou seja g(x_2)>g(x_1).
Aplicando ao nosso caso:
  • \mathrm{f}'(x)=2\operatorname{cosh}(2x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Portanto \mathrm{f} é estritamente crescente em qualquer intervalo contido em \mathbb{R}. Em particular, se \mathrm{I}=\mathbb{R}, \mathrm{f} é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Não há nenhum intervalo onde \mathrm{f} seja decrescente porque a derivada nunca fica negativa.

Passo 6

Pontos de máximo e mínimo locais (relativos):
  • Como \mathrm{f} é estritamente crescente em qualquer intervalo interior do domínio, não existem pontos de máximo local nem mínimo local no interior de \mathrm{I} (assumindo \mathrm{I} é um intervalo).
  • Observação sobre extremos em extremos do intervalo \mathrm{I}: se o domínio \mathrm{I} tiver extremos (por exemplo \mathrm{I}=[a,b]), então como \mathrm{f} é crescente teremos o mínimo global em a e o máximo global em b. Se \mathrm{I} for aberto em um extremo (por exemplo \mathrm{I}=(a,b)) então esse extremo não é ponto do domínio e portanto não conta como máximo/minimo da função sobre \mathrm{I}.
    • Exemplos concretos para fixar:
      • Se \mathrm{I}=\mathbb{R}: nenhum máximo nem mínimo (a função cresce sem bound quando x\to+\infty e tende a -\infty quando x\to-\infty, então não há extremos globais).
      • Se \mathrm{I}=[0,1]: \mathrm{f} atinge o mínimo em x=0 e o máximo em x=1, porque é crescente.

Passo 7

Resumo prático — o que você precisa saber para a prova e como responder rápido:
  • Derive usando regra da cadeia: \mathrm{f}'(x)=2\operatorname{cosh}(2x).
  • Note que \operatorname{cosh}(2x)>0 sempre → derivada positiva sempre → função estritamente crescente em qualquer intervalo do domínio.
  • Logo: nenhum ponto crítico interno, nenhum máximo ou mínimo relativo no interior. Extremos só podem ocorrer em pontos extremos do domínio e, se existirem, o menor valor fica no extremo esquerdo e o maior no extremo direito (porque a função é crescente).

Resposta

Para \mathrm{I}=\mathbb{R}: \mathrm{f}'(x)=2\operatorname{cosh}(2x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, portanto \mathrm{f} é estritamente crescente em \mathbb{R} e não possui máximos nem mínimos locais.
Para um intervalo qualquer \mathrm{I}\subseteq\mathbb{R}: \mathrm{f} é estritamente crescente em \mathrm{I}; não há máximos nem mínimos relativos no interior de \mathrm{I}. Se \mathrm{I}=[a,b] então o mínimo global ocorre em x=a e o máximo global em x=b.

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