Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
y=1 / x^2

Passo 1

O enunciado pede a função
y = 1x^2
e quer que a gente, se necessário, restrinja domínio e contradomínio para obter injetividade e então determine a inversa. O conteúdo aqui é “função inversa” e vamos precisar garantir que a função seja um a um antes de inverter.

Passo 2

Na forma geral, com domínio Rsetminus0, temos
f(x)=1x^2,
mas f(-x)=f(x), logo não é injetiva em Rsetminus0. Para ter inversa precisamos de um domínio em que f seja estritamente monotônica.

Passo 3

Analisando a monotonicidade via derivada,
f'(x) = -2x^3
Para x>0, f'(x)<0 (estritamente decrescente) e para x<0, f'(x)>0 (estritamente crescente). Assim, função é injetiva em cada um desses ramos. Vamos definir dois casos:
(i) domínio (0,infty), (ii) domínio (-infty,0). Em ambos o contradomínio natural é (0,infty).

Passo 4

Para encontrar a inversa em cada ramo, resolvemos
y = 1x^2 Longrightarrow x^2 = 1y Longrightarrow x = pm 1raizy
Escolhemos o sinal de acordo com o ramo de x.

Resposta

(i) Em
fcolon (0,infty)to(0,infty), f(x)=1x^2
a inversa é
f^-1(y)=1raizy
(ii) Em
fcolon (-infty,0)to(0,infty), f(x)=1x^2
a inversa é
f^-1(y)=-1raizy

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