Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
Passo 1
O enunciado pede a função
e quer que a gente, se necessário, restrinja domínio e contradomínio para obter injetividade e então determine a inversa. O conteúdo aqui é “função inversa” e vamos precisar garantir que a função seja um a um antes de inverter.
Passo 2
Na forma geral, com domínio
, temos
mas
, logo não é injetiva em
. Para ter inversa precisamos de um domínio em que
seja estritamente monotônica.
Passo 3
Analisando a monotonicidade via derivada,
Para
,
(estritamente decrescente) e para
,
(estritamente crescente). Assim, função é injetiva em cada um desses ramos. Vamos definir dois casos:
(i) domínio , (ii) domínio
. Em ambos o contradomínio natural é
.
(i) domínio
Passo 4
Para encontrar a inversa em cada ramo, resolvemos
Escolhemos o sinal de acordo com o ramo de
.
Resposta
(i) Em
a inversa é
(ii) Em
a inversa é