Seja f(x, y)=x-2 y e considere uma subdivisão do retângulo R=[0,2] times[0,2] em 16 retângulos menores, como no Exercício 17. Tome (xi^*, yk^*) como sendo o centro do k-ésimo retângulo. Compare o resultado de (a) com o valor exato da integral.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x-2y
no retângulo
R=[0,2]times[0,2]
dividido em 16 sub-retângulos iguais, e pede (a) a soma de Riemann usando o ponto médio de cada sub-retângulo e (b) o valor exato da integral dupla de f sobre R. O conteúdo é o cálculo de aproximação pelo método do ponto médio e o cálculo exato pela integração iterada.

Passo 2

Cada sub-retângulo tem
De<a x=De<a y=2-04=0,5, De<a A=De<a x,De<a y=0,25
Os centros nas direções x e y valem
xi^*=0,25+(i-1),0,5, yj^*=0,25+(j-1),0,5,
para i,j=1,2,3,4. Logo
sumi=1^4 xi^* =0,25+0,75+1,25+1,75=4, sumj=1^4 yj^*=4

Passo 3

A soma de Riemann pelo ponto médio é
sumi=1^4sumj=1^4 f(xi^*,yj^*),De<a A =De<a Asumi=1^4sumj=1^4l(xi^*-2yj^*r)
Como a soma dupla separa,
sumi,jxi^* =sumi=1^4 xi^*sumj=1^4 1 =4cdot 4=16, sumi,jyj^* =4cdot 4=16,
sumi,j(xi^*-2yj^*) =16-2cdot16=-16,
então
sumi,jf(xi^*,yj^*),De<a A =0,25cdot(-16)=-4

Passo 4

Agora a integral exata por integração iterada:
integral duplaR(x-2y),dA =integral0^2!!integral0^2(x-2y),dy,dx
Integrando em y:
integral0^2(x-2y),dy =l[x,y - y^2r]0^2 =2x-4
Agora em x:
integral0^2(2x-4),dx =l[x^2-4xr]0^2 =(4-8)-0=-4

Passo 5

Comparando, a soma de Riemann pelo ponto médio deu -4 e a integral exata também é -4. Logo a aproximação coincide com o valor exato.

Resposta

A soma de Riemann pelo ponto médio é -4 e a integral exata vale -4; ambos coincidem.

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