Seja
e considere uma subdivisão do retângulo
em 16 retângulos menores, como no Exercício 17. Tome
como sendo o centro do
-ésimo retângulo. Compare o resultado de (a) com o valor exato da integral.
Passo 1
O enunciado dá a função
no retângulo
dividido em 16 sub-retângulos iguais, e pede (a) a soma de Riemann usando o ponto médio de cada sub-retângulo e (b) o valor exato da integral dupla de
sobre
. O conteúdo é o cálculo de aproximação pelo método do ponto médio e o cálculo exato pela integração iterada.
Passo 2
Cada sub-retângulo tem
Os centros nas direções
e
valem
para
. Logo
Passo 3
A soma de Riemann pelo ponto médio é
Como a soma dupla separa,
então
Passo 4
Agora a integral exata por integração iterada:
Integrando em
:
Agora em
:
Passo 5
Comparando, a soma de Riemann pelo ponto médio deu
e a integral exata também é
. Logo a aproximação coincide com o valor exato.
Resposta
A soma de Riemann pelo ponto médio é
e a integral exata vale
; ambos coincidem.