Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a inversa. Para isso precisamos garantir que
seja bijetora, o que envolve restrição de domínio e identificação do contradomínio (imagem).
Passo 2
Estudamos a monotonicidade de
. A derivada é
que é negativa para
e positiva para
. Logo,
não é injetora em
, mas torna-se injetora se restringirmos o domínio a um dos ramos monotônicos:
(ramo crescente) ou
(ramo decrescente).
Passo 3
Restrigindo o domínio a
, a imagem natural é
. Assim definimos
que é bijetora.
Passo 4
Para achar a inversa, resolvemos
no ramo
. Isolando
:
Logo
para
.
Passo 5
Analogamente, restringindo o domínio a
e imagem
, temos
para
.
Resposta
Domínio
, contradomínio
, inversa
No ramo
a inversa é
.