Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
y=x^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2+1 e pede a inversa. Para isso precisamos garantir que f seja bijetora, o que envolve restrição de domínio e identificação do contradomínio (imagem).

Passo 2

Estudamos a monotonicidade de f(x)=x^2+1. A derivada é
f'(x)=2x,
que é negativa para x<0 e positiva para x>0. Logo, f não é injetora em R, mas torna-se injetora se restringirmos o domínio a um dos ramos monotônicos: [0,infty) (ramo crescente) ou (-infty,0] (ramo decrescente).

Passo 3

Restrigindo o domínio a [0,infty), a imagem natural é [1,infty). Assim definimos
fcolon [0,infty)to[1,infty)
f(x)=x^2+1
que é bijetora.

Passo 4

Para achar a inversa, resolvemos y=x^2+1 no ramo x>=0. Isolando x:
x=raizy-1
Logo
f^-1(y)=raizy-1
para yin[1,infty).

Passo 5

Analogamente, restringindo o domínio a (-infty,0] e imagem [1,infty), temos
f^-1(y)=-raizy-1
para yin[1,infty).

Resposta

Domínio [0,infty), contradomínio [1,infty), inversa
f^-1(y)=raizy-1
No ramo x<=0 a inversa é f^-1(y)=-raizy-1.

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