( 0,5 ponto) Encontre y^prime derivando implicitamente a equação
x e^y=x-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos ,y', derivando implicitamente a equação
x e^y = x - y
O conteúdo aqui é derivação implícita, em que vamos precisar da regra do produto para x e^y e da regra da cadeia para e^y.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra do produto d(uv)/dx = u'v + u v' com u=x e v=e^y, e dentro de v' usamos a regra da cadeia:
ddxl(x e^yr) = underbraceddx(x)1,e^y + x,underbraceddx(e^y)e^y,y' = e^y + x,e^y,y'
No lado direito,
ddx(x - y) = ddx(x) - ddx(y) = 1 - y'

Passo 3

Agora igualamos as duas derivadas:
e^y + x e^y,y' = 1 - y'
Isolamos os termos com y'. Primeiro, subtraímos e^y de ambos os lados:
x e^y,y' = 1 - y' - e^y
Em seguida, somamos y' aos dois lados:
x e^y,y' + y' = 1 - e^y

Passo 4

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'l(x e^y + 1r) = 1 - e^y,
e então isolamos y':
y' = 1 - e^yx e^y + 1

Resposta

y' = 1 - e^yx e^y + 1

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