Para cada uma das funções r(t) abaixo, determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração.
r(t)=t i+t^2 j+t^2 k

Passo 1

O enunciado nos dá a função de posição
r(t)=t,i+t^2,j+t^2,k
e pede:
– o vetor velocidade v(t)=r'(t),
– a velocidade escalar v(t)=|v(t)|,
– o vetor aceleração a(t)=v'(t).
Para isso vamos usar derivação componente a componente de funções vetoriais e, depois, norma de vetor.

Passo 2

Derivando cada componente de r(t) em relação a t, obtemos o vetor velocidade:
v(t)=r'(t) =ddtl(tr),i +ddtl(t^2r),j +ddtl(t^2r),k =1,i+2t,j+2t,k

Passo 3

A velocidade escalar é a norma de v(t). Logo,
v(t)=|v(t)| =raiz1^2+(2t)^2+(2t)^2 =raiz1+4t^2+4t^2 =raiz1+8t^2

Passo 4

Para o vetor aceleração, derivamos v(t) componente a componente:
a(t)=v'(t) =ddtl(1r),i +ddtl(2tr),j +ddtl(2tr),k =0,i+2,j+2,k

Resposta

v(t)=i+2t,j+2t,k
v(t)=raiz1+8t^2
a(t)=2,j+2,k

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