Para cada uma das funções r(t) abaixo, determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração.
r(t)=t^2 i-t^2 j+k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=t^2,i-t^2,j+k
e pede três coisas: o vetor velocidade v(t), a velocidade escalar |v(t)| e o vetor aceleração a(t). Vamos usar derivação componente a componente e depois calcular magnitude.

Passo 2

Para obter o vetor velocidade v(t)=r'(t), derivamos cada componente em relação a t. A derivada de t^2 é 2t, de -t^2 é -2t e de 1 é 0. Logo,
v(t) =2t,i-2t,j+0,k =2t,i-2t,j

Passo 3

A velocidade escalar é a norma de v(t). Calculamos
|v(t)| =raiz(2t)^2+(-2t)^2+0^2 =raiz4t^2+4t^2 =raiz8t^2 =2raiz2,lvert trvert

Passo 4

Para o vetor aceleração a(t)=v'(t), derivamos v(t)=2t,i-2t,j. A derivada de 2t é 2 e de -2t é -2. Assim,
a(t) =2,i-2,j+0,k =2,i-2,j

Resposta

v(t)=2t,i-2t,j
|v(t)|=2raiz2,lvert trvert
a(t)=2,i-2,j

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