The Cartesian coordinates of a point are given.
(i) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r>0 and 0 <= theta<2 pi.
(ii) Find polar coordinates (r, theta) of the point, where r<0 and 0 <= theta<2 pi.
(a) (2,-2)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto cartesiano em coordenadas polares de duas maneiras:
– (i) com e em ,
– (ii) com e em .
A teoria básica diz que
onde fornece um ângulo entre e , e depois ajustamos para . Para ter , basta tomar o valor de negativo e somar ao ângulo original para manter .

Passo 2

Calculamos o módulo positivo
r = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz8 = 2raiz2

Passo 3

Obtemos o ângulo com usando
Como queremos e o ponto está no quarto quadrante, ajustamos

Passo 4

Para representar com r<0, tomamos
r = -2raiz2
e adicionamos pi ao ângulo 7pi4:
theta = 7pi4 + pi = 11pi4 equiv 3pi4pmod2pi

Resposta

(i) r=2raiz2,;theta=tfrac7pi4
(ii) r=-2raiz2,;theta=tfrac3pi4

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