Para cada uma das funções r(t) abaixo, determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração.
r(t)=a cos (omega t) i+b j+a sin (omega t) k

Passo 1

O enunciado dá a função de posição
r(t)=acos(omega t),i+b,j+asin(omega t),k
e pede (i) o vetor velocidade v(t), (ii) a velocidade escalar |v(t)| e (iii) o vetor aceleração a(t). Vamos usar que
v(t)=dfracdrdt,
|v(t)|=raizv(t)cdotv(t),
a(t)=dfracdvdt.

Passo 2

Derivando componente a componente:
ddtl[acos(omega t)r]=-aomegasin(omega t),
ddt[,b,]=0,
ddtl[asin(omega t)r]=aomegacos(omega t).
Logo
v(t)=-aomegasin(omega t),i +0,j +aomegacos(omega t),k
ou simplificando
v(t)=-aomegasin(omega t),i +aomegacos(omega t),k

Passo 3

A velocidade escalar é o módulo de v(t):
|v(t)| =raizl(-aomegasin(omega t)r)^2+l(aomegacos(omega t)r)^2 =a|omega|raizsin^2(omega t)+cos^2(omega t) =a|omega|
Se assumirmos omega>0, então |v(t)|=aomega, constante.

Passo 4

Derivando v(t) para obter a(t):
ddtl[-aomegasin(omega t)r] =-aomega^2cos(omega t),
ddtl[aomegacos(omega t)r] =-aomega^2sin(omega t).
Portanto
a(t)=-aomega^2cos(omega t),i - aomega^2sin(omega t),k

Resposta

v(t)=-aomegasin(omega t),i +aomegacos(omega t),k
|v(t)|=a|omega|
a(t)=-aomega^2cos(omega t),i - aomega^2sin(omega t),k

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