Plot the point whose polar coordinates are given. Then find two other pairs of polar coordinates of this point, one with r>0 and one with r<0.
(a) (1,7 pi / 4)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas polares (1,7pi/4). Precisamos:
bul<=t plotar esse ponto no plano cartesiano;
bul<=t encontrar duas outras coordenadas polares que representem o mesmo ponto, uma com r>0 e outra com r<0.

Passo 2

Para localizar no plano, convertemos para coordenadas cartesianas usando
x = rcostheta, y = rsintheta
Aqui r=1 e theta=7pi/4, então
x = 1cdotcosl(7pi/4r) = raiz22, y = 1cdotsinl(7pi/4r) = -raiz22
O ponto fica em l(tfracraiz22,-tfracraiz22r), no quarto quadrante.

Passo 3

Para obter uma outra representação com r>0, basta usar a periodicidade de 2pi em theta. Por exemplo:
(1,7pi/4-2pi) = l(1,-pi/4r)
Este par também dá l(tfracraiz22,-tfracraiz22r).

Passo 4

Para uma representação com r<0, usamos que substituir (r,theta) por (-r,theta+pi) dá o mesmo ponto. Assim,
(-1,7pi/4+pi) = l(-1,11pi/4r)
Como !11pi/4=3pi/4+2pi, podemos simplificar para
l(-1,3pi/4r),
que também produz l(tfracraiz22,-tfracraiz22r).

Resposta

Par com r>0: l(1,-pi/4r)
Par com r<0: l(-1,3pi/4r)

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