Para cada uma das funções r(t) abaixo, determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração.
r(t)=a e^t i+b e^t j+c e^t k

Passo 1

O enunciado dá a função de posição
r(t)=a e^t i + b e^t j + c e^t k
e pede:
– o vetor velocidade v(t),
– a velocidade escalar v(t)=| v(t)|,
– o vetor aceleração a(t).
Vamos usar que a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente e que a norma de um vetor (x,y,z) é raizx^2+y^2+z^2.

Passo 2

Derivando componente a componente obtemos o vetor velocidade:
v(t)= r'(t) =ddtl(a e^tr) i +ddtl(b e^tr) j +ddtl(c e^tr) k = a e^t i + b e^t j + c e^t k

Passo 3

A velocidade escalar é a norma de v(t). Logo,
v(t)=| v(t)| =raiz(a e^t)^2+(b e^t)^2+(c e^t)^2 =e^traiza^2+b^2+c^2

Passo 4

O vetor aceleração é a derivada de v(t). Como cada componente de v(t) é novamente uma constante vezes e^t, temos
a(t)= v'(t) =a e^t i + b e^t j + c e^t k

Resposta

v(t)=a e^t i + b e^t j + c e^t k
v(t)=e^traiza^2+b^2+c^2
a(t)=a e^t i + b e^t j + c e^t k

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