Problema Um sistema possui uma função de transferência G(s)=\frac{10(s+4)(s+6)}{(s+1)(s+7)(s+8)(s+10)}. Escrever, por inspeção, a saída, c(t), em termos genéricos se a entrada for um degrau unitário.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{10(s+4)(s+6)}{(s+1)(s+7)(s+8)(s+10)}
e pede para escrever, por inspeção, a saída c(t) quando a entrada é um degrau unitário. Informações relevantes:
\text{entrada: } r(t)=u(t)\quad\Rightarrow\quad R(s)=\frac{1}{s}.
Portanto devemos obter C(s)=G(s)R(s) e inverter para o domínio do tempo c(t). Os polos relevantes aparecem em s=0,-1,-7,-8,-10.

Passo 2

Vamos montar a expressão em s:
C(s)=G(s)\,R(s)=\frac{10(s+4)(s+6)}{s(s+1)(s+7)(s+8)(s+10)}.
Note que todos os polos são simples (cada fator do denominador é linear e aparece uma vez). Para inversão por inspeção usamos o fato padrão de Laplace: se
C(s)=\sum_{k}\frac{A_k}{s-p_k}
então
c(t)=\sum_{k}A_k e^{p_k t}u(t).
Aqui os polos são p_k\in\{0,-1,-7,-8,-10\}. Os coeficientes A_k (resíduos) são dados por
A_k=\lim_{s\to p_k}(s-p_k)C(s).
Vou calcular cada A_k de forma direta (essa é a inspeção: tomar o produto do fator anulador pelo C(s) e avaliar).

Passo 3

Residuo em s=0. Usamos
A_0=\lim_{s\to0}s\,C(s)=\lim_{s\to0}\frac{10(s+4)(s+6)}{(s+1)(s+7)(s+8)(s+10)}.
Avalia em s=0:
A_0=\frac{10\cdot 4\cdot 6}{1\cdot 7\cdot 8\cdot 10}=\frac{4\cdot 6}{1\cdot 7\cdot 8}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}.

Passo 4

Residuo em s=-1. Usamos
A_{-1}=\lim_{s\to-1}(s+1)C(s)=\left.\frac{10(s+4)(s+6)}{s(s+7)(s+8)(s+10)}\right|_{s=-1}.
Avalia em s=-1:
A_{-1}=\frac{10\cdot 3\cdot 5}{(-1)\cdot 6\cdot 7\cdot 9}=\frac{150}{-378}=-\frac{25}{63}.

Passo 5

Residuo em s=-7. Usamos
A_{-7}=\lim_{s\to-7}(s+7)C(s)=\left.\frac{10(s+4)(s+6)}{s(s+1)(s+8)(s+10)}\right|_{s=-7}.
Avalia em s=-7:
A_{-7}=\frac{10\cdot(-3)\cdot(-1)}{(-7)\cdot(-6)\cdot 1\cdot 3}=\frac{30}{126}=\frac{5}{21}.

Passo 6

Residuo em s=-8. Usamos
A_{-8}=\lim_{s\to-8}(s+8)C(s)=\left.\frac{10(s+4)(s+6)}{s(s+1)(s+7)(s+10)}\right|_{s=-8}.
Avalia em s=-8:
A_{-8}=\frac{10\cdot(-4)\cdot(-2)}{(-8)\cdot(-7)\cdot(-1)\cdot 2}=\frac{80}{-112}=-\frac{5}{7}.

Passo 7

Residuo em s=-10. Usamos
A_{-10}=\lim_{s\to-10}(s+10)C(s)=\left.\frac{10(s+4)(s+6)}{s(s+1)(s+7)(s+8)}\right|_{s=-10}.
Avalia em s=-10:
A_{-10}=\frac{10\cdot(-6)\cdot(-4)}{(-10)\cdot(-9)\cdot(-3)\cdot(-2)}=\frac{240}{540}=\frac{4}{9}.

Passo 8

Agora escrevemos a resposta no tempo usando os polos e seus resíduos. Cada polo p contribui com A e^{p t}. Assim, para t\ge 0:
c(t)=A_0 + A_{-1}e^{-t} + A_{-7}e^{-7t} + A_{-8}e^{-8t} + A_{-10}e^{-10t},
substituindo os A calculados:
c(t)=\frac{3}{7}-\frac{25}{63}e^{-t}+\frac{5}{21}e^{-7t}-\frac{5}{7}e^{-8t}+\frac{4}{9}e^{-10t}, \qquad t\ge 0,
ou, incluindo explicitamente o passo unitário,
c(t)=\left(\frac{3}{7}-\frac{25}{63}e^{-t}+\frac{5}{21}e^{-7t}-\frac{5}{7}e^{-8t}+\frac{4}{9}e^{-10t}\right)u(t).

Passo 9

Checagens rápidas (sanity checks) que ajudam na prova:
  • Valor final pela regra do valor final: \lim_{t\to\infty}c(t)=A_0=\dfrac{3}{7}. Pode-se verificar também por \lim_{s\to0}sC(s)=G(0)=\dfrac{3}{7}.
  • Valor inicial c(0^+)=\sum A_k=0 (soma dos termos dá zero), consistente com sistema com saída inicial nula para condições iniciais zero.

Resposta

c(t)=\left(\frac{3}{7}-\frac{25}{63}e^{-t}+\frac{5}{21}e^{-7t}-\frac{5}{7}e^{-8t}+\frac{4}{9}e^{-10t}\right)u(t)

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