Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
f(t)=2^3 t+22^-3 t : f^prime(t) e f^prime(0) ;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=2^3t+22^-3t
e pede a derivada f'(t) e o valor f'(0).
Para isso vamos usar a regra de derivação de exponenciais: se g(t)=a^u(t), então
g'(t)=a^u(t)ln(a),u'(t)

Passo 2

Aplique essa regra ao termo 2^3t. Aqui a=2 e u(t)=3t, logo u'(t)=3. Assim,
ddtl(2^3tr) =2^3tln(2)cdot 3 =3,2^3tln(2)

Passo 3

Agora aplique ao termo 22^-3t. Aqui a=22 e u(t)=-3t, logo u'(t)=-3. Assim,
ddtl(22^-3tr) =22^-3tln(22)cdot(-3) =-3,22^-3tln(22)
Somando as duas derivadas, obtemos
f'(t) =3,2^3tln(2);-;3,22^-3tln(22)

Passo 4

Para t=0 temos 2^3cdot0=1 e 22^-3cdot0=1. Logo,
f'(0) =3cdot1cdotln(2);-;3cdot1cdotln(22) =3l(ln(2)-ln(22)r) =3ln!l(tfrac222r) =3ln!l(tfrac111r) =-3ln(11)

Resposta

f'(t)=3,2^3tln(2);-;3,22^-3tln(22), f'(0)=-3ln(11)

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