Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
x y-y^prime sec x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,y - y',sec x = 0
onde y' = dydx. O conteúdo é equações de variáveis separáveis: vamos isolar dydx, separar y e x, e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
x,y = y',sec x
e como sec x = 1cos x, segue
y' = x,y,cos x

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy = xcos x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda
integral dyy = lnlvert yrvert,
à direita usamos integração por partes em integral xcos x,dx: tomando u=x, dv=cos x,dx resulta
integral xcos x,dx = xsin x - integral 1cdotsin x,dx = xsin x + cos x + C
Logo
lnlvert yrvert = xsin x + cos x + C

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos a solução geral
lvert yrvert = e^,xsin x + cos x + C = Ce^,xsin x + cos x,
onde C>0 absorve o sinal e a constante e^C. Finalmente
y = K,e^,xsin x + cos x,
com K constante arbitrária não nula.

Resposta

y = K,expl(xsin x + cos xr),
onde K é constante.

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