Converta a equação de coeficientes constantes em um sistema plano autônomo e discuta as trajetórias e estabilidade para este sistema.
Passo 1
O enunciado pede para converter a equação de segunda ordem com coeficientes constantes
num sistema autônomo de primeira ordem em e, em seguida, discutir as formas das trajetórias no plano e a estabilidade do ponto de equilíbrio em função dos parâmetros e . O conteúdo envolve transformação de uma EDO de ordem superior num sistema de primeira ordem, cálculo de autovalores de matrizes e classificação de sistemas lineares autônomos segundo o tipo de ponto de equilíbrio.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
de modo que
Em forma matricial, o sistema é
onde
Passo 3
Para classificar o ponto de equilíbrio (0,0), calculamos os autovalores de A pela equação característica
Sejam lambda1,2 as raízes dessa equação. Definimos o discriminante
De<a = a^2 - 4,b
Passo 4
Caso De<a>0: as raízes lambda1neqlambda2 são reais.
Se b<0, então lambda1lambda2 = b<0, há sinal oposto e o equilíbrio é uma sela (instável).
Se b>0, então lambda1 e lambda2 têm mesmo sinal:
se a>0 então lambda1,2<0 e o ponto é nó atrator (nó estável), com duas direções principais de decaimento;
se a<0 então lambda1,2>0 e o ponto é nó repulsor (nó instável), com duas direções de crescimento exponencial.
Passo 5
Caso De<a=0: há raiz dupla
lambda = -tfraca2
Se a>0, então lambda<0 e temos nó degenerado estável (todas as trajetórias vão para a origem, possivelmente tangentes a uma única direção).
Se a<0, então lambda>0 e é nó degenerado instável.
Passo 6
Caso De<a<0: as raízes são complexas conjugadas
lambda = -tfraca2 pm i,raiz4b - a^22
Se a>0, a parte real -a/2<0 gera espiral assintoticamente estável (espiral entrante), com oscilações amortecidas.
Se a<0, a parte real -a/2>0 gera espiral instável (espiral saliente).
Se a=0, as raízes são puramente imaginárias pm iraizb (com b>0), e o ponto é um centro: as trajetórias são órbitas fechadas (estável mas não assintoticamente).
Resposta
O sistema equivalente é
A forma das trajetórias e a estabilidade em dependem do discriminante :
(a) : nó estável se ; nó instável se ; sela instável se .
(b) : nó degenerado estável se , instável se .
(c) : espiral estável se , instável se ; centro (órbitas fechadas) se .