Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
y=u sen(u), u=x^2 : d yd x e d yd x|x0=raizpi ;

Passo 1

O enunciado define
y = u sin(u)
com
u = x^2
e pede a derivada tfracdydx usando regra da cadeia, além de avaliar essa derivada em x0 = raizpi.

Passo 2

Calculamos as derivadas necessárias:
dydu =ddul(usin(u)r) =sin(u)+ucos(u),
dudx =ddx(x^2) =2x

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia tfracdydx = tfracdyducdottfracdudx, substituímos e simplificamos:
dydx =l(sin(u)+ucos(u)r)cdot 2x =2xsin(x^2)+2x,(x^2)cos(x^2) =2xsin(x^2)+2x^3cos(x^2)

Passo 4

Agora avaliamos em x0=raizpi. Note que sin(pi)=0 e cos(pi)=-1, logo
dydx|x=raizpi =2raizpi,sin(pi)+2(raizpi)^3cos(pi) =0+2pi^3/2(-1) =-2pi^3/2

Resposta

dydx=2xsin(x^2)+2x^3cos(x^2),
dydx|x0=raizpi=-2pi^3/2

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