Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(c) ldotx=4 x-6 y doty=6 x-9 y

Passo 1

O sistema é linear homogêneo em (x,y):
dotx=4x-6y, doty=6x-9y
Conteúdo: análise de estabilidade de ponto de equilíbrio em sistemas lineares via autovalores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema e identificamos o único equilíbrio.
A= 4 & -6 6 & -9 ,
e o equilíbrio satisfaz A,(x,y)^T=(0,0)^T, o que só ocorre em
(x,y)=(0,0)

Passo 3

Encontramos o polinômio característico de A usando traço e determinante.
tr,A=4+(-9)=-5, det A=4cdot(-9)-(-6)cdot6=-36+36=0
Logo o polinômio é
lambda^2-(tr,A),lambda+det A =lambda^2+5lambda+0 =lambda(lambda+5)

Passo 4

As raízes do polinômio característico são
lambda1=0, lambda2=-5

Passo 5

A presença de um autovalor negativo e um zero indica um ponto não–hiperbólico com:
  • uma direção estável (autovalor -5),
  • uma direção neutra ou central (autovalor 0).
    Não há autovalor positivo, portanto não há instabilidade exponencial.

Passo 6

Para identificar as direções:
— Autovetor para lambda1=0 vem de A v=0:
4x-6y=0;Longrightarrow;y=tfrac23x
Nesta reta y=tfrac23x, temos dot x=dot y=0, logo as soluções ali são constantes (centro).
— Autovetor para lambda2=-5 satisfaz (A+5I)w=0; escolhemos, por exemplo, w=(3,-2). Sobre essa direção as soluções decaem como e^-5t.

Passo 7

Conclusão sobre estabilidade:
— Não há modo instável ( lambda>0), então o equilíbrio é Lyapunov estável.
— Há modo neutro ( lambda=0), logo não há decaimento exponencial em todas as direções; não é assintoticamente estável.

Resposta

O ponto (0,0) é estável (Lyapunov) mas não assintoticamente estável. A reta y=tfrac23x é o centro (soluções constantes) e a direção associada a lambda=-5 é estável (decai exponencialmente).

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