Exercício 3 (D.L.5.3)
(a) Dê um exemplo de um campo com singularidade estável não isolada.
(b) Dê uma condição para que um campo linear x^prime=A x, com A in Mn(R), tenha a origem como singularidade isolada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) um exemplo de campo vetorial que tenha uma singularidade estável mas não isolada;
(b) uma condição para que o sistema linear dot x = A x tenha a origem como singularidade isolada.
Vamos usar conceitos de ponto crítico (singularidade) de um campo, estabilidade de Lyapunov e espaço nulo de uma matriz.

Passo 2

Definimos:
– Uma singularidade de um campo X é um ponto x0 tal que X(x0)=0.
– É isolada se existe um entorno de x0 que não contém outras singularidades.
– É Lyapunov–estável se todo trajeto que começa suficientemente próximo de x0 permanece próximo para t>=0.

Passo 3

Para (a), em R^2 considere o campo
X(x,y)=(-x,,0)
Aqui
X(x,y)=0iff x=0,
ou seja, o conjunto de singularidades é a reta x=0, não isolada. A matriz Jacobiana é
DX(x,y)=-1&00&0,
cujo espectro é -1,0. Como não há valor próprio com parte real positiva, cada ponto do eixo x=0 é Lyapunov–estável.

Passo 4

Para (b), no sistema linear
dot x = A x
as singularidades satisfazem
A x = 0Long<=ftrightarrow xinker(A)
A origem é isolada se não há outros xneq0 suficientes próximos que zerem A x. Logo a condição é
ker(A)=0,
ou seja, A é invertível ( det(A)neq0) ou, equivalentemente, 0 não é valor próprio de A.

Resposta

(a) Um exemplo é
X(x,y)=(-x,0)em R^2,
cuja singularidade se dá em toda a reta x=0, cada ponto é estável mas não isolado.
(b) A origem é singularidade isolada se, e somente se,
ker(A)=0 Long<=ftrightarrow det(A)neq0 Long<=ftrightarrow 0notinsigma(A)

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