Exercício 3 (D.L.5.3)
(a) Dê um exemplo de um campo com singularidade estável não isolada.
(b) Dê uma condição para que um campo linear
, com
, tenha a origem como singularidade isolada.
(a) Dê um exemplo de um campo com singularidade estável não isolada.
(b) Dê uma condição para que um campo linear
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) um exemplo de campo vetorial que tenha uma singularidade estável mas não isolada;
(b) uma condição para que o sistema linear tenha a origem como singularidade isolada.
Vamos usar conceitos de ponto crítico (singularidade) de um campo, estabilidade de Lyapunov e espaço nulo de uma matriz.
(a) um exemplo de campo vetorial que tenha uma singularidade estável mas não isolada;
(b) uma condição para que o sistema linear
Vamos usar conceitos de ponto crítico (singularidade) de um campo, estabilidade de Lyapunov e espaço nulo de uma matriz.
Passo 2
Definimos:
– Uma singularidade de um campo é um ponto
tal que
.
– É isolada se existe um entorno de que não contém outras singularidades.
– É Lyapunov–estável se todo trajeto que começa suficientemente próximo de permanece próximo para
.
– Uma singularidade de um campo
– É isolada se existe um entorno de
– É Lyapunov–estável se todo trajeto que começa suficientemente próximo de
Passo 3
Para (a), em
considere o campo
Aqui
ou seja, o conjunto de singularidades é a reta
, não isolada. A matriz Jacobiana é
cujo espectro é
. Como não há valor próprio com parte real positiva, cada ponto do eixo
é Lyapunov–estável.
Passo 4
Para (b), no sistema linear
as singularidades satisfazem
A origem é isolada se não há outros
suficientes próximos que zerem
. Logo a condição é
ou seja,
é invertível (
) ou, equivalentemente,
não é valor próprio de
.
Resposta
(a) Um exemplo é
cuja singularidade se dá em toda a reta
, cada ponto é estável mas não isolado.
(b) A origem é singularidade isolada se, e somente se,
(b) A origem é singularidade isolada se, e somente se,