Exercício 2 (D.L.5.2)
Mostre que a origem é sempre um ponto de equilíbrio instável para um sistema linear x^prime=A x definido por uma matriz A in Mn(R) que tem pelo menos um autovalor complexo com parte real positiva.

Passo 1

O enunciado considera o sistema linear
x' = A,x
com Ain Mn(R) e pede para mostrar que a origem é instável sempre que A possui pelo menos um autovalor lambda com Re(lambda)>0. O que vamos usar é a representação da solução pela exponencial de matriz e o comportamento exponencial de modos associados a autovalores de parte real positiva.

Passo 2

Definimos instabilidade da origem dizendo que existe varepsilon>0 tal que, para todo de<a>0, podemos escolher uma condição inicial x(0)=x0 com |x0|<de<a e um instante t>0 em que |x(t)|>=varepsilon. Para mostrar isso, basta encontrar um modo de solução que cresça exponencialmente a partir de dados iniciais arbitrariamente pequenos.

Passo 3

Como A tem um autovalor lambda=alpha+ibeta com alpha>0, existe vetor próprio complexo vinC^n tal que
A,v = lambda,v
Escrevamos v = u + i,w com u,winR^n. Então as partes real e imaginária de e^lambda tv geram duas soluções reais independentes.

Passo 4

A solução geral com condição inicial x0 é
x(t) = e^A t,x0
Em particular, para x0=u temos
x(t) = e^A t,u = Rel(e^lambda tvr) = e^alpha tl(ucos(beta t) - wsin(beta t)r)
Como alpha>0, o fator e^alpha t faz |x(t)| crescer exponencialmente com t.

Passo 5

Dado qualquer de<a>0, escolha x0 = de<a|u|,u, de modo que |x0|=de<a. Então
|x(t)| = e^alpha t,l|ucos(beta t)-wsin(beta t)r| >= C,e^alpha t
para alguma constante C>0. Tomando t grande o suficiente, |x(t)| ultrapassa qualquer varepsilon>0. Isso mostra que a origem não é estável.

Resposta

A origem é instável sempre que A possui algum autovalor com parte real positiva.

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