Exercício 2 (D.L.5.2)
Mostre que a origem é sempre um ponto de equilíbrio instável para um sistema linear definido por uma matriz que tem pelo menos um autovalor complexo com parte real positiva.
Passo 1
O enunciado considera o sistema linear
com e pede para mostrar que a origem é instável sempre que possui pelo menos um autovalor com . O que vamos usar é a representação da solução pela exponencial de matriz e o comportamento exponencial de modos associados a autovalores de parte real positiva.
Passo 2
Definimos instabilidade da origem dizendo que existe tal que, para todo , podemos escolher uma condição inicial com e um instante em que . Para mostrar isso, basta encontrar um modo de solução que cresça exponencialmente a partir de dados iniciais arbitrariamente pequenos.
Passo 3
Como tem um autovalor com , existe vetor próprio complexo tal que
Escrevamos com . Então as partes real e imaginária de geram duas soluções reais independentes.
Passo 4
A solução geral com condição inicial é
Em particular, para temos
Como , o fator faz crescer exponencialmente com .
Passo 5
Dado qualquer , escolha , de modo que . Então
para alguma constante C>0. Tomando t grande o suficiente, |x(t)| ultrapassa qualquer varepsilon>0. Isso mostra que a origem não é estável.
Resposta
A origem é instável sempre que A possui algum autovalor com parte real positiva.