Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a função $ f(x) = x $ é admissível para a transformada de Laplace. Se for, a gente calcula a transformada usando a definição. Então, vamos trabalhar com cálculos de transformada de Laplace, e para isso, precisamos entender o que torna uma função admissível para essa transformada.
Passo 2
Primeiro, o que significa ser uma função admissível para a transformada de Laplace? Basicamente, uma função $ f(t) $ é admissível se ela é contínua para $ t \geq 0 $ e cresce no máximo exponencialmente quando $ t $ tende ao infinito. Isso garante que a integral da transformada de Laplace vai convergir.
Passo 3
Vamos verificar se $ f(x) = x $ atende a esses critérios. A função $ f(x) = x $ é contínua para todo $ x $ real, inclusive para $ x \geq 0 $. Além disso, ela cresce de forma polinomial, que é mais lenta que uma função exponencial. Portanto, $ f(x) = x $ é uma função admissível para a transformada de Laplace.
Passo 4
Agora que vimos que a função é admissível, vamos calcular sua transformada de Laplace usando a definição. A definição da transformada de Laplace é:
Substituindo $ f(t) = t $:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u, dv = uv - \int v, du $:
Passo 6
Vamos analisar os limites. Quando $ t \to \infty $, $ e^{-st} $ tende a zero mais rápido que $ t $ cresce, então o termo $ -\frac{t}{s} e^{-st} $ vai a zero. Para $ t = 0 $, também obtemos zero. Portanto, sobra:
A integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt $ é igual a $ \frac{1}{s} $.
Passo 7
Substituindo de volta:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(x) = x $ é: