Prove que lim n infty(2^n+5^n)^1n=5.
Se a, b >= 0, mostre que lim n infty(a^n+b^n)^1n=max a, b.

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite das sequências (2^n + 5^n)^1/n e, de forma mais geral, (a^n + b^n)^1/n com a,b>=0. O conteúdo envolvido é limites de sequências e o uso do teorema do sanduíche (ou princípio do confronto) aliado à propriedade da raiz n-ésima.

Passo 2

Começando por (2^n + 5^n)^1/n, note que para todo n temos as desigualdades
5^n <= 2^n + 5^n <= 2 cdot 5^n
Isso vale porque 2^n>=0 e somamos duas cópias de 5^n.

Passo 3

Aplicando a raiz n-ésima em cada termo da desigualdade e usando que a função x>=0 é monótona crescente para 5 <= (2^n + 5^n)^1/n <= 2^1/n cdot 5 , obtemos

Passo 4

Como limntoinfty2^1/n=1 (porque limntoinftyln 2n=0), pelo teorema do sanduíche concluímos
limntoinfty(2^n + 5^n)^1/n = 5

Passo 5

Para o caso geral com a,b>=0, defina M=maxa,b e m=mina,b. Então
M^n <= a^n + b^n <= m^n + M^n <= 2M^n
e, aplicando raiz n-ésima,
M <= (a^n + b^n)^1/n <= 2^1/nM
Novamente, como 2^1/nto1, temos
limntoinfty(a^n + b^n)^1/n = M = maxa,b

Resposta

limntoinfty(2^n + 5^n)^1/n = 5 \ limntoinfty(a^n + b^n)^1/n = maxa,b

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