Prove que
.
Se
, mostre que
.
Se
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite das sequências
e, de forma mais geral,
com
. O conteúdo envolvido é limites de sequências e o uso do teorema do sanduíche (ou princípio do confronto) aliado à propriedade da raiz
-ésima.
Passo 2
Começando por
, note que para todo
temos as desigualdades
Isso vale porque
e somamos duas cópias de
.
Passo 3
Aplicando a raiz
-ésima em cada termo da desigualdade e usando que a função
é monótona crescente para
, obtemos
Passo 4
Como
(porque
), pelo teorema do sanduíche concluímos
Passo 5
Para o caso geral com
, defina
e
. Então
e, aplicando raiz
-ésima,
Novamente, como
, temos