Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
f(x)=K, onde K constante negativa;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ f(x) = K $, onde $ K $ é uma constante negativa, é admissível para a transformada de Laplace. Se for, a gente também vai calcular essa transformada. Então, vamos precisar entender o que significa uma função ser admissível e como calcular a transformada de Laplace para funções constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o que é uma função admissível para a transformada de Laplace. Essencialmente, uma função é admissível se a sua transformada de Laplace existir, ou seja, se conseguirmos calcular a integral que define a transformada. Isso geralmente acontece se a função não cresce muito rápido quando $ x $ tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função $ f(x) = K $ é admissível. Como $ K $ é uma constante negativa, a função é bem comportada: ela não cresce, nem positiva nem negativamente. Isso significa que a integrabilidade para a transformada de Laplace vai estar ok, desde que $ s > 0 $. Então, nossa função $ f(x) = K $ é admissível para a transformada de Laplace.

Passo 4

Com isso confirmado, vamos calcular a transformada de Laplace de $ f(x) = K $. A definição da transformada de Laplace é:
f(x) = K
Substituindo $ f(x) = K $:
Lf(x) = integral0^infty e^-sx f(x) , dx
A integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-sx} , dx $ é igual a $ \frac{1}{s} $, então temos:
f(x) = K

Resposta

A função $ f(x) = K $, onde $ K $ é uma constante negativa, é admissível, e sua transformada de Laplace é $ \mathcal{L}{K} = \frac{K}{s} $.

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