Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
, onde
é um inteiro positivo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ f(x) = x^{n} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo, é admissível para a Transformada de Laplace. Se for, temos que calcular essa transformada usando a definição. Então, vamos precisar entender o que significa uma função ser admissível e como aplicar a definição da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma função admissível para a Transformada de Laplace. Basicamente, uma função $ f(t) $ é admissível se ela satisfaz duas condições principais:
- Existência da Transformada: A integral que define a Transformada de Laplace precisa convergir, ou seja, dar um resultado finito.
- Crescimento Limitado: A função não deve crescer mais rápido que exponencialmente. Mais formalmente, existe um número real $ c $ tal que $ |f(t)| \leq Me^{ct} $ para algum $ M $ e para todo $ t \geq 0 $.
Essas condições garantem que a Transformada de Laplace vai funcionar direitinho para a função em questão.
Passo 3
Agora, vamos verificar se $ f(x) = x^{n} $ é admissível. Primeiro, observamos que $ x^{n} $ é um polinômio e, para $ x \geq 0 $ e $ n $ inteiro positivo, ela cresce tipo um gráfico de “caixa”. Isso significa que não cresce mais rápido que uma exponencial para qualquer $ c > 0 $, porque polinômios crescem mais lentamente que exponenciais.
Além disso, vamos checar a existência da Transformada de Laplace. A definição é:
Para $ f(t) = t^{n} $, precisamos ver se essa integral converge. Sabemos que, para qualquer $ s > 0 $ e $ n $ inteiro positivo, essa integral vai sim convergir. Então, $ f(t) = t^{n} $ é definitivamente admissível para a Transformada de Laplace.
Passo 4
Agora que sabemos que $ f(t) = t^{n} $ é admissível, vamos calcular sua Transformada de Laplace usando a definição:
Para resolver essa integral, usamos uma propriedade conhecida das integrais de funções do tipo $ t^{n} e^{-st} $, que está relacionada com a função gama. A solução dessa integral é:
Aqui, $ n! $ é o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.
Resposta
A Transformada de Laplace de $ f(t) = t^{n} $ é: