Calcule integralgamma F cdot d r sendo dados:
F(x, y, z)=(x+y+z) k e

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de um campo vetorial dado por vec F(x,y,z)=(x+y+z),vec k ao longo da curva gamma(t)=(t,t,1-t^2) para 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial não-conservativo (apenas componente k).

Passo 2

Para definir a integral de linha usamos a parametrização gamma(t) e a fórmula
integralgamma vec Fcdot dvec r = integral0^1 vec Fl(gamma(t)r) cdot gamma'(t),dt
Precisamos então encontrar gamma'(t).

Passo 3

Derivando cada componente de gamma(t)=(t,t,1-t^2) em relação a t obtemos
gamma'(t) = (1,,1,,-2t)

Passo 4

Agora avaliamos vec F ao longo da curva, ou seja fazemos x=t, y=t, z=1-t^2:
vec Fl(gamma(t)r) = (0,0,,t+t+(1-t^2)) = (0,0,,2t+1-t^2)

Passo 5

O produto escalar fica
vec Fl(gamma(t)r)cdot gamma'(t) = (2t+1-t^2)cdot(-2t) = -4t^2 -2t +2t^3
Portanto a integral é
integral0^1(-4t^2 -2t +2t^3),dt

Passo 6

Basta integrar termo a termo:
integral0^1 -4t^2,dt = -43,
integral0^1 -2t,dt = -1,
integral0^1 2t^3,dt = 12
Somando os resultados:
-43 -1 + 12 = -116

Resposta

-\tfrac{11}{6}

Exercícios relacionados