Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
y^prime=2 x /(1+2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial y^prime= 2x1 + 2y. O conteúdo aqui é de equações diferenciais, especificamente equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e x e depois integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais fácil de manipular:
dydx = 2x1 + 2y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por (1 + 2y) e por dx:
(1 + 2y) , dy = 2x , dx
Isso nos ajuda a ter todos os termos com y de um lado e com x do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados:
integral (1 + 2y) , dy = integral 2x , dx

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
  • Do lado esquerdo:
integral 1 , dy + integral 2y , dy = y + y^2 + C1
  • Do lado direito:
integral 2x , dx = x^2 + C2

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões e combinamos as constantes de integração:
y + y^2 = x^2 + C
Onde C = C2 - C1 é apenas uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y + y^2 = x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

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