Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
;

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x)=exp(e^{x/2}) e precisamos verificar se ela é admissível para Laplace, ou seja: 1) é contínua por partes em [0,∞) e 2) é de ordem exponencial (existe M>0 e a∈ℝ tais que |f(x)|≤M e^{a x} para todo x≥0). Se for admissível, usar Lf(s)=integral0^infty e^-s xf(x),dx.

Passo 2

A função f(x)=exp(e^{x/2}) é composição de exponenciais e, portanto, é contínua em todo [0,∞). Logo ela satisfaz a condição de continuidade por partes.

Passo 3

Para ser de ordem exponencial precisamos achar constantes M>0 e a tais que
expl(e^x/2r)<= M e^a x, forall x>=0
Tomando razão e logaritmo, analisamos
exp(e^x/2)e^a x=expl(e^x/2-a xr)
Mas à medida que x→∞ temos e^{x/2}≫a x, de modo que
limxto∞expl(e^x/2-a xr)=∞
e essa desigualdade não se mantém para nenhum par (M,a). Portanto f não é de ordem exponencial.

Passo 4

Como a função falha na condição de ordem exponencial, concluímos que f não é admissível para transformada de Laplace e, portanto, não podemos calcular Lf(s) pela definição.

Resposta

f(x)=exp(e^{x/2}) não é admissível (não é de ordem exponencial), logo sua transformada de Laplace não existe pela definição.

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