Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
Passo 1
Temos a função por partes
O conteúdo é transformada de Laplace. Vamos usar a definição
e verificar os critérios de admissibilidade: continuidade por partes e ordem exponencial.
Passo 2
Verificamos que f(x) é contínua por partes em [0,∞) (é zero em [0,π] e [2π,∞) e linear em [π,2π]) e limitada (logo de ordem exponencial nula). Portanto f é admissível para todo s>0.
Passo 3
Pela definição,
Como f(x)=0 fora de [π,2π], isso reduz-se a
Passo 4
Para calcular
fazemos a mudança de variável u=x-π, de modo que x=u+π e u∈[0,π]. Então
Passo 5
Agora usamos integração por partes em
Escolhendo
obtemos
Passo 6
Substituindo em I:
Simplificando chega-se a