Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
lc0, & 0 <= x <= pi, x-pi & pi <= x<2 pi, 0 & 2 pi <= x

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)=0,&0<= x<=pi,x-pi,&pi<= x<2pi,0,&2pi<= x
O conteúdo é transformada de Laplace. Vamos usar a definição
Lf(s)=integral0^infty e^-s xf(x),dx
e verificar os critérios de admissibilidade: continuidade por partes e ordem exponencial.

Passo 2

Verificamos que f(x) é contínua por partes em [0,∞) (é zero em [0,π] e [2π,∞) e linear em [π,2π]) e limitada (logo de ordem exponencial nula). Portanto f é admissível para todo s>0.

Passo 3

Pela definição,
Lf(s)=integral0^infty e^-s xf(x),dx
Como f(x)=0 fora de [π,2π], isso reduz-se a
Lf(s)=integralpi^2pie^-s x(x-pi),dx

Passo 4

Para calcular
I=integralpi^2pi(x-pi)e^-s x,dx
fazemos a mudança de variável u=x-π, de modo que x=u+π e u∈[0,π]. Então
I=e^-spiintegral0^piu e^-s u,du

Passo 5

Agora usamos integração por partes em
J=integral0^piu e^-s u,du
Escolhendo
U&=u,&dV&=e^-s udu,dU&=du,&V&=-1se^-s u,
obtemos
J=l-use^-s ur|0^pi+1sintegral0^pie^-s u,du=-pise^-spi-e^-spi-1s^2

Passo 6

Substituindo em I:
I=e^-spil(-pise^-spi-e^-spi-1s^2r) =e^-pi sl(-pise^-pi s-e^-pi s-1s^2r)
Simplificando chega-se a
Lf(s)=e^-pi ss^2-e^-2pi sl(pis+1s^2r)

Resposta

f é admissível para todo s>0 e
Lf(s)=e^-pi ss^2-e^-2pi sl(pis+1s^2r)

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