Para cada uma das funções a seguir determine (a) seu domínio, (b) sua interseção com o eixo x, e (c) sua interseção com o eixo y.
h(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
h(x)=\frac{\sin x}{1-\cos x},
que a gente determine (a) o domínio de h, (b) os pontos onde ela cruza o eixo x (interseção com y=0) e (c) o ponto onde ela cruza o eixo y (interseção com x=0). Vamos usar álgebra simples e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero, ou seja
1-\cos x \neq 0.
Isso significa
\cos x \neq 1,
e sabemos que \cos x=1 exatamente quando
x = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 3

Para encontrar a interseção com o eixo x, resolvemos
h(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin x}{1-\cos x}=0.
Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Assim exigimos
\sin x=0 \quad\text{e}\quad \cos x\neq 1.
Temos \sin x=0 para x=\pi k. Desses, excluímos x=2\pi k (pois aí \cos x=1 e a função não está definida). Sobram
x = \pi(2k+1),\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto os pontos de interseção com o eixo x são
\bigl(\pi(2k+1),\,0\bigr).

Passo 4

Para a interseção com o eixo y, avaliamos h(0). Mas em x=0 o denominador fica
1-\cos 0 = 1-1 = 0,
logo h(0) não existe. Concluímos que não há interseção com o eixo y.

Resposta

(a) Domínio: \{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}.
(b) Interseção com o eixo x: \bigl(\pi(2k+1),0\bigr), k\in\mathbb{Z}.
(c) Interseção com o eixo y: não existe.

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