Para cada uma das funções a seguir determine (a) seu domínio, (b) sua interseção com o eixo x, e (c) sua interseção com o eixo y.
g(x)=\ln \left(-x^{2}+x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para a função
g(x)=\ln\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)
determinar (a) o domínio, (b) as interseções com o eixo x (onde g(x)=0), e (c) a interseção com o eixo y (em x=0). Vamos usar a condição de existência do logaritmo, que exige o argumento positivo, e depois resolver as equações correspondentes.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos
-x^{2}+x+2>0.
Reescrevendo,
x^{2}-x-2<0.
As raízes da equação x^{2}-x-2=0 são
x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2},
isto é, x=-1 e x=2. Como o coeficiente de x^{2} em x^{2}-x-2 é positivo, a inequação x^{2}-x-2<0 vale entre as raízes. Portanto o domínio é
(-1,\,2).

Passo 3

Para as interseções com o eixo x precisamos de g(x)=0, ou seja
\ln\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)=0
\Longrightarrow -x^{2}+x+2=1
\Longrightarrow -x^{2}+x+1=0
\Longrightarrow x^{2}-x-1=0.
As soluções são
x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Ambos ficam dentro de (-1,2), logo as interseções com o eixo x são \bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2},0\bigr).

Passo 4

Para a interseção com o eixo y avaliamos x=0:
g(0)=\ln\bigl(-0^{2}+0+2\bigr)=\ln(2).
Logo a interseção com o eixo y é \bigl(0,\ln(2)\bigr).

Resposta

(a) Domínio: (-1,2)
(b) Interseções com o eixo x: \bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2},0\bigr)
(c) Interseção com o eixo y: \bigl(0,\ln(2)\bigr)

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