Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, (a) determine sua inversa, (b) seu domínio, e (c) sua imagem.
(i) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, x<0
(ii) g(x)=e^{2 x+6}-5
(iii) h(x)=\operatorname{sen}(3 x-\pi), x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{6}\right]

Passo 1

O enunciado pede para cada função verificar se ela é invertível (isto é, bijetiva) usando propriedades de monotonicidade e de sobrejetividade, e em caso afirmativo (a) achar a função inversa, (b) dar o domínio da função original e (c) sua imagem.

Passo 2

Considere f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} com x<0. Primeiro investigamos a monotonicidade para garantir injetividade.
f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{2x}{(x^2+1)^2}.
Como em x<0 temos 2x<0 e (x^2+1)^2>0, segue f'(x)<0 em todo (-\infty,0). Logo f é estritamente decrescente e, com domínio (-\infty,0), é bijetiva sobre sua imagem.
Para achar a inversa, escrevemos
y=\frac{x^2}{x^2+1} \quad\Longrightarrow\quad y\,(x^2+1)=x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2\, (y-1)=-y \quad\Longrightarrow\quad x^2=\frac{y}{1-y}.
Como queremos a parte x<0, temos
f^{-1}(y)=-\sqrt{\frac{y}{1-y}}.
O domínio original é (-\infty,0) e, verificando os limites,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=1 e \lim_{x\to0^-}f(x)=0,
logo a imagem é (0,1).

Passo 3

Analise de g(x)=e^{2x+6}-5. A função exponencial é estritamente crescente, logo g é injetiva em \mathbb{R}. Como \lim_{x\to-\infty}e^{2x+6}=0 e \lim_{x\to+\infty}e^{2x+6}=+\infty, obtemos \lim_{x\to-\infty}g(x)=-5 e \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, ou seja, imagem (-5,\infty). Para a inversa, seja y=e^{2x+6}-5, então
y+5=e^{2x+6} \quad\Longrightarrow\quad \ln(y+5)=2x+6 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\ln(y+5)-6}{2}.
O domínio de g é \mathbb{R} e a imagem é (-5,\infty).

Passo 4

Estude h(x)=\operatorname{sen}(3x-\pi) em x\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{3\pi}{6}\bigr]=[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}]. No intervalo dado, o argumento 3x-\pi varia de
3\cdot\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{\pi}{2} \quad\text{até}\quad 3\cdot\frac{\pi}{2}-\pi=\frac{\pi}{2},é
e \operatorname{sen} é estritamente crescente em \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], garantindo bijetividade. A imagem de \operatorname{sen} nesse domínio é [-1,1]. Para inverter, seja
y=\operatorname{sen}(3x-\pi) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{arcsen}(y)=3x-\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\operatorname{arcsen}(y)+\pi}{3}.
O domínio original é \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr] e a imagem é [-1,1].

Resposta

(i) f é invertível.
(a) f^{-1}(y)=-\sqrt{\dfrac{y}{1-y}}.
(b) Domínio de f: (-\infty,0).
(c) Imagem de f: (0,1).
(ii) g é invertível.
(a) g^{-1}(y)=\dfrac{\ln(y+5)-6}{2}.
(b) Domínio de g: \mathbb{R}.
(c) Imagem de g: (-5,\infty).
(iii) h é invertível.
(a) h^{-1}(y)=\dfrac{\operatorname{arcsen}(y)+\pi}{3}.
(b) Domínio de h: \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr].
(c) Imagem de h: [-1,1].

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