Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, (a) determine sua inversa, (b) seu domínio, e (c) sua imagem.
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado pede para cada função verificar se ela é invertível (isto é, bijetiva) usando propriedades de monotonicidade e de sobrejetividade, e em caso afirmativo (a) achar a função inversa, (b) dar o domínio da função original e (c) sua imagem.
Passo 2
Considere
com
. Primeiro investigamos a monotonicidade para garantir injetividade.
Como em
temos
e
, segue
em todo
. Logo
é estritamente decrescente e, com domínio
, é bijetiva sobre sua imagem.
Para achar a inversa, escrevemos
Para achar a inversa, escrevemos
Como queremos a parte
, temos
O domínio original é
e, verificando os limites,
e
,
logo a imagem é .
logo a imagem é
Passo 3
Analise de
. A função exponencial é estritamente crescente, logo
é injetiva em
. Como
e
, obtemos
e
, ou seja, imagem
. Para a inversa, seja
, então
O domínio de
é
e a imagem é
.
Passo 4
Estude
em
. No intervalo dado, o argumento
varia de
e
é estritamente crescente em
, garantindo bijetividade. A imagem de
nesse domínio é
. Para inverter, seja
O domínio original é
e a imagem é
.
Resposta
(i)
é invertível.
(a) .
(b) Domínio de :
.
(c) Imagem de :
.
(a)
(b) Domínio de
(c) Imagem de
(ii)
é invertível.
(a) .
(b) Domínio de :
.
(c) Imagem de :
.
(a)
(b) Domínio de
(c) Imagem de
(iii)
é invertível.
(a) .
(b) Domínio de :
.
(c) Imagem de :
.
(a)
(b) Domínio de
(c) Imagem de