Para cada uma das funções a seguir, determine o seu domínio, a sua imagem e desenhe o seu gráfico.
f(x)= e^x, & if x<0 x^2+1, & if 0 <= x<2 ln (x), & if x >= 2

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar a função definida por partes
f(x)= e^x, & se x<0 x^2+1, & se 0<= x<2 ln(x), & se x>=2
Conteúdo: funções definidas por partes, domínio, imagem e esboço de gráfico. Vamos usar a definição de domínio como o conjunto de todos os x onde cada pedaço faz sentido, e para a imagem vamos analisar cada ramo separadamente e depois unir.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde cada ramo está definido:
  • e^x existe para todo x<0
  • x^2+1 existe para todo 0<= x<2
  • ln(x) exige x>0, e foi dado para x>=2
União desses intervalos dá:
x:x<0cup[0,2)cup[2,infty)=(-infty,infty)
Logo o domínio é todo R.

Passo 3

Agora a imagem de cada ramo:
  1. Para x<0, y=e^x varia de e^-infty (que tende a 0, mas nunca chega) até e^0=1 (valor não incluído porque x=0 não pertence). Então imagem é (0,1).
  2. Para 0<= x<2, y=x^2+1 vai de 0^2+1=1 (incluído, pois x=0 pertence) até 2^2+1=5 (não incluído, pois x=2 não pertence). Imagem [1,5).
  3. Para x>=2, y=ln(x) vai de ln(2) (incluído) até +infty. Imagem [ln2,infty).
Unindo:
(0,1)cup[1,5)cup[ln2,infty)=(0,infty).

Passo 4

Pra desenhar o gráfico, vamos juntar os três pedaços e marcar pontos de conexão:
  • No ramo exponencial x<0, esboce a curva decrescente de e^x, aproximando de 0 na esquerda.
  • Em x=0 ponha um ponto aberto em (0,1) vindo do exponencial e um ponto fechado ali vindo de (0^2+1)=1 do ramo quadrático.
  • Para 0<= x<2, desenhe a parábola x^2+1 subindo de (0,1) até quase (2,5), deixando esse último ponto aberto.
  • Em x=2 marque um ponto fechado em (2,ln2) para iniciar o ramo ln(x).
  • Desenhe para x>=2 a curva crescente de ln(x).

Passo 5

Pronto! Com isso temos domínio, imagem e o esboço do gráfico completo da função.

Resposta

Domínio: ( -infty,infty ). Imagem: (0,infty). O gráfico é formado por três partes: para x<0 a exponencial e^x, para 0<= x<2 a parábola x^2+1, e para x>=2 o logaritmo ln(x), com pontos de conexão abertos e fechados conforme a definição por partes.

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