A posição de uma partícula é tal que
dd t r(t)=3 i+4 j-t k e r(0)=2 k
Determine as componentes normal e tangencial da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula em função do tempo v(t)=3,i+4,j-t,k e pede as componentes tangencial e normal da aceleração. O conteúdo é cinemática vetorial em coordenadas cartesianas e vamos precisar de: 1) obter a aceleração a(t)=dv/dt, 2) achar o módulo da velocidade |v|, 3) calcular a componente tangencial at=d|v|/dt e 4) a componente normal an=raiz|a|^2-at^2 (ou an=|vtimesa|/|v|).

Passo 2

Derive primeiro a aceleração fazendo a derivada de v(t). Como 3 e 4 são constantes e só o termo em -t depende de t, temos
a(t)=ddt(3,i+4,j-t,k)=0,i+0,j-1,k=-k

Passo 3

Calcule o módulo da velocidade:
|v(t)|=raiz3^2+4^2+(-t)^2=raiz25+t^2

Passo 4

Use a definição da componente tangencial da aceleração como a derivada do módulo da velocidade. Logo:
at=ddtl(raiz25+t^2r)= 12(25+t^2)^-1/2cdot 2t= traiz25+t^2

Passo 5

Para a componente normal podemos usar
an=raizl|ar|^2-at^2
Aqui |a|=1 (já que a= -k), então
an=raiz1-l(traiz25+t^2r)^2= raiz25+t^2-t^225+t^2=5raiz25+t^2

Resposta

As componentes da aceleração são:
Tangencial: at=dfractraiz25+t^2
Normal: an=dfrac5raiz25+t^2.

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