Considere uma partícula cuja velocidade e aceleração são paralelas em qualquer instante t(t in R é o tempo). Determine a função posição e a curvatura da trajetória descrita por esta partícula.

Passo 1

O enunciado diz que para todo instante t a aceleração a(t) é paralela à velocidade v(t). O conteúdo aqui envolve equações diferenciais vetoriais (movimento retilíneo) e cálculo de curvatura de uma curva no espaço.

Passo 2

Se v(t) e a(t) são paralelas, existe uma função escalar λ(t) tal que
a(t)=d^2 rdt^2=lambda(t),d rdt=lambda(t), v(t)

Passo 3

Para resolver a equação vetorial
d^2 rdt^2=lambda(t),d rdt,
omeamos
v(t)=d rdt
e consideramos o fator
mu(t)=integral^tlambda(s),ds
Então note que
$$\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\mu(t)}\mathbf v(t)\bigr)=-\lambda(t)e^{-\mu(t)}\mathbf v(t)+e^{-\mu(t)}\frac{d\mathbf v}{dt}=0.
ddtl(e^-mu(t) v(t)r)=-lambda(t)e^-mu(t) v(t)+e^-mu(t)d vdt=0 e^{-\mu(t)}\mathbf v(t)=\mathbf C,$$
onde e^-mu(t) v(t)= C, é constante.

Passo 4

Desse resultado tiramos que
$$\mathbf v(t)=e^{\mu(t)}\mathbf v(t_0).
v(t)=e^mu(t) v(t0) çã
\mathbf r(t)=\mathbf r(t_0)+\mathbf v(t_0)\int_{t_0}^t e{\int_{t_0}s!\lambda(u),du},ds.
r(t)= r(t0)+ v(t0)integralt0^t e^integralt0^s!lambda(u),du,ds áúçã
\mathbf r(t)=\mathbf r_0+\mathbf u,\rho(t),
$$
com u= v(t0) e r(t)= r0+ u,rho(t),

Passo 5

Para calcular a curvatura usamos
$$\kappa(t)=\frac{|\mathbf v(t)\times\mathbf a(t)|}{|\mathbf v(t)|^3}.
kappa(t)=| v(t)times a(t)|| v(t)|^3 éé\kappa(t)=0.
$$

Resposta

A posição fica
r(t)= r0+ v(t0)integralt0^t e^integralt0^s!lambda(u),du,ds,
o que equivale a um movimento retilíneo r(t)= r0+ u,rho(t) com direção constante u. A curvatura da trajetória é
kappa(t)=0

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