Considere uma partícula cuja velocidade e aceleração são paralelas em qualquer instante
é o tempo). Determine a função posição e a curvatura da trajetória descrita por esta partícula.
Passo 1
O enunciado diz que para todo instante t a aceleração a(t) é paralela à velocidade v(t). O conteúdo aqui envolve equações diferenciais vetoriais (movimento retilíneo) e cálculo de curvatura de uma curva no espaço.
Passo 2
Se v(t) e a(t) são paralelas, existe uma função escalar λ(t) tal que
Passo 3
Para resolver a equação vetorial
omeamos
e consideramos o fator
Então note que
$$\frac{d}{dt}\bigl(e^{-\mu(t)}\mathbf v(t)\bigr)=-\lambda(t)e^{-\mu(t)}\mathbf v(t)+e^{-\mu(t)}\frac{d\mathbf v}{dt}=0.
onde
é constante.
Passo 4
Desse resultado tiramos que
$$\mathbf v(t)=e^{\mu(t)}\mathbf v(t_0).
\mathbf r(t)=\mathbf r(t_0)+\mathbf v(t_0)\int_{t_0}^t e{\int_{t_0}s!\lambda(u),du},ds.
\mathbf r(t)=\mathbf r_0+\mathbf u,\rho(t),
$$
com e
com
Passo 5
Para calcular a curvatura usamos
$$\kappa(t)=\frac{|\mathbf v(t)\times\mathbf a(t)|}{|\mathbf v(t)|^3}.
$$
Resposta
A posição fica
o que equivale a um movimento retilíneo