Para cada uma das funções a seguir, determine o seu domínio, a sua imagem e desenhe o seu gráfico.
Passo 1
Temos a função por partes
f(x)=2x+1,&se x<-1-3,&se -1<= x<=2x^2-4,&se x>2
O conteúdo envolve análise de funções definidas por partes (piecewise) e determinação de domínio, imagem e esboço do gráfico.
Passo 2
Analisando as condições dos ramos, percebemos que os três intervalos x<-1, -1<= x<=2 e x>2 cobrem todos os números reais sem lacunas. Portanto, o domínio é R.
Passo 3
No ramo x<-1 temos f(x)=2x+1. Quando xto-infty chega-se a -infty, e ao aproximar xto-1^- obtemos f(x)to2(-1)+1=-1, sem atingi-lo. Logo, esse ramo gera o intervalo (−∞,−1).
Passo 4
No ramo -1<= x<=2 a função é constante f(x)=-3. Esse valor único já está contido em (−∞,−1), então não expande a imagem além do intervalo anterior.
Passo 5
No ramo x>2 temos f(x)=x^2-4. Ao aproximar xto2^+, f(x)to0 sem igualar a zero, e conforme xto+infty obtém-se +infty. Portanto, esse ramo gera o intervalo (0,infty).
Passo 6
Unindo os resultados, a imagem (conjunto-valor) da função é
(−infty,−1)cup(0,infty)
Passo 7
Esboço do gráfico:
Para x<-1: reta y=2x+1 até próximo de (-1,-1) com ponto aberto neste fim.
Em -1<= x<=2: segmento horizontal em y=-3 com pontos fechados em (-1,-3) e (2,-3).
Para x>2: ramo de parábola y=x^2-4 iniciando em (2,0) como ponto aberto e crescendo para cima.
Resposta
Domínio: R.
Imagem: (−infty,−1)cup(0,infty).
Gráfico: reta decrescente para x<-1 (ponto aberto em (-1,-1)), linha horizontal em y=-3 para -1<= x<=2 (pontos fechados em (-1,-3) e (2,-3)), e ramo de parábola ascendente para x>2 (ponto aberto em (2,0)).