Para cada uma das funções a seguir, determine o seu domínio, a sua imagem e desenhe o seu gráfico.
Passo 1
O enunciado define uma função por partes: para cada x temos um ramo diferente. Vamos precisar usar conceitos de domínio de função, imagem (range) e como esboçar cada parte (parábola, exponencial e logarítmica) e depois juntá-las.
Passo 2
Para achar o domínio, analisamos cada ramo:
- Para x<−2, f(x)=−x²+3 é definida para todo x real.<br> - Para −2≤x≤2, f(x)=2ᵡ+1 está definida para todo x real também.<br> - Para x>2, f(x)=log₂x−2 exige x>0, então neste ramo só precisamos de x>2.<br> Fazendo a união: (−∞,−2)∪[−2,2]∪(2,∞)=(−∞,∞).
Passo 3
Para a imagem, estudamos cada ramo separadamente:
- x<−2: f₁(x)=−x²+3 tem valor máximo quando x→−2⁻, f₁→−1, e vai a −∞ quando x→−∞. Então imagem f₁ é (−∞,−1).
- −2≤x≤2: f₂(x)=2ᵡ+1 é crescente. Em x=−2: 2^{−2}+1=¼+1=5/4. Em x=2: 2²+1=5. Então imagem f₂ é [5/4,5].
- x>2: f₃(x)=log₂x−2 cresce de log₂2−2=−1 até +∞. Como x>2, o valor −1 não é atingido, e vai a +∞. Então imagem f₃ é (−1,∞).
Unindo essas imagens: (−∞,−1)∪[5/4,5]∪(−1,∞)=(−∞,−1)∪(−1,∞)=ℝ{−1}.
Passo 4
Para desenhar o gráfico, marcamos os pontos de “salto”:
- Na parábola, no ponto x=−2 temos um círculo aberto em (−2,−1).
- No ramo exponencial, ponto fechado em (−2,5/4) e em (2,5).
- No ramo logarítmico, círculo aberto em (2,−1).
Depois, traçamos:
• Para x<−2: a parábola invertida −x²+3 indo de −∞ (em y) até o círculo aberto em (−2,−1).
• Entre −2 e 2: a curva crescente 2ᵡ+1 ligando (−2,5/4) a (2,5).
• Para x>2: a curva log₂x−2 começando em (2,−1) e subindo sem limite.
Passo 5
O domínio é toda a reta real e a imagem é todos os reais, exceto o valor −1. O gráfico é o esboço composto pelos três ramos com os círculos abertos e fechados indicados.
Resposta
Domínio: (−∞,∞).
Imagem: ℝ{−1}.
Gráfico: ramo parabólico f(x)=−x²+3 para x<−2 (até o ponto aberto (−2,−1)), ramo exponencial f(x)=2ᵡ+1 fechado em (−2,5/4) e em (2,5), e ramo logarítmico f(x)=log₂x−2 iniciando em (2,−1) com círculo aberto e subindo sem limite.
Imagem: ℝ{−1}.
Gráfico: ramo parabólico f(x)=−x²+3 para x<−2 (até o ponto aberto (−2,−1)), ramo exponencial f(x)=2ᵡ+1 fechado em (−2,5/4) e em (2,5), e ramo logarítmico f(x)=log₂x−2 iniciando em (2,−1) com círculo aberto e subindo sem limite.