Considere a função f(x)=x(6-x^2) e justifique sua resposta.
(2,0 pontos) Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, pontos criticos e máximos e mínimos locais de f(x), caso existam;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função $ f(x) = x(6 - x^{2}) $. A gente vai precisar usar conceitos de derivadas para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os pontos críticos e os máximos e mínimos locais. Basicamente, vamos analisar o comportamento da função usando a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é $ f(x) = x(6 - x^{2}) $. Vamos multiplicar os termos:
f(x) = x(6 - x^2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
f(x)

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é $ f’(x) = 6 - 3x^{2} $. Vamos igualar a zero:
x
Então, os pontos críticos são $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
  • Para $ x = -\sqrt{2} $:
    • Se pegarmos um valor menor que $ -\sqrt{2} $, por exemplo, $ x = -2 $: x = -raiz2
    • Se pegarmos um valor entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 0 $: -raiz2
    • A derivada passa de negativa para positiva, indicando que $ x = -\sqrt{2} $ é um mínimo local.
  • Para $ x = \sqrt{2} $:
    • Se pegarmos um valor entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 0 $: x = -2
    • Se pegarmos um valor maior que $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 2 $: f'(-2) = 6 - 3(-2)^2 = 6 - 12 = -6 (Negativo)
    • A derivada passa de positiva para negativa, indicando que $ x = \sqrt{2} $ é um máximo local.

Passo 6

Vamos agora determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo:
  • Crescendo: Onde a derivada é positiva ($ f’(x) > 0 $)
    • Entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $
  • Decrescendo: Onde a derivada é negativa ($ f’(x) < 0 $)
    • Para $ x < -\sqrt{2} $ e $ x > \sqrt{2} $

Resposta

  • Intervalos de crescimento: $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $
  • Intervalos de decrescimento: $ (-\infty, -\sqrt{2}) $ e $ (\sqrt{2}, +\infty) $
  • Pontos críticos: $ x = -\sqrt{2} $ e $ x = \sqrt{2} $
  • Mínimo local: Em $ x = -\sqrt{2} $
  • Máximo local: Em $ x = \sqrt{2} $

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