Considere a função
e justifique sua resposta.
Indique os intervalos de crescimento, decrescimento, pontos criticos e máximos e mínimos locais de
, caso existam;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função $ f(x) = x(6 - x^{2}) $. A gente vai precisar usar conceitos de derivadas para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os pontos críticos e os máximos e mínimos locais. Basicamente, vamos analisar o comportamento da função usando a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é $ f(x) = x(6 - x^{2}) $. Vamos multiplicar os termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é $ f’(x) = 6 - 3x^{2} $. Vamos igualar a zero:
Então, os pontos críticos são $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
-
Para $ x = -\sqrt{2} $:
- Se pegarmos um valor menor que $ -\sqrt{2} $, por exemplo, $ x = -2 $:
- Se pegarmos um valor entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 0 $:
- A derivada passa de negativa para positiva, indicando que $ x = -\sqrt{2} $ é um mínimo local.
- Se pegarmos um valor menor que $ -\sqrt{2} $, por exemplo, $ x = -2 $:
-
Para $ x = \sqrt{2} $:
- Se pegarmos um valor entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 0 $:
- Se pegarmos um valor maior que $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 2 $:
- A derivada passa de positiva para negativa, indicando que $ x = \sqrt{2} $ é um máximo local.
- Se pegarmos um valor entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $, por exemplo, $ x = 0 $:
Passo 6
Vamos agora determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo:
-
Crescendo: Onde a derivada é positiva ($ f’(x) > 0 $)
- Entre $ -\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2} $
-
Decrescendo: Onde a derivada é negativa ($ f’(x) < 0 $)
- Para $ x < -\sqrt{2} $ e $ x > \sqrt{2} $
Resposta
- Intervalos de crescimento: $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $
- Intervalos de decrescimento: $ (-\infty, -\sqrt{2}) $ e $ (\sqrt{2}, +\infty) $
- Pontos críticos: $ x = -\sqrt{2} $ e $ x = \sqrt{2} $
- Mínimo local: Em $ x = -\sqrt{2} $
- Máximo local: Em $ x = \sqrt{2} $