Considere a função
e justifique sua resposta.
Estude a concavidade da função
e calcule os pontos de inflexão, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar a concavidade da função $ f(x) = x(6 - x^2) $ e encontrar os pontos de inflexão, se tiverem. Então, o que a gente precisa aqui é entender um pouco sobre derivadas, porque a concavidade e os pontos de inflexão estão relacionados com a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Temos:
Passo 3
Agora, para estudar a concavidade, precisamos encontrar a segunda derivada da função. Mas antes disso, vamos achar a primeira derivada.
A primeira derivada de $ f(x) = 6x - x^3 $ é:
Passo 4
Em seguida, a segunda derivada é a derivada da primeira derivada. Então, derivando $ f’(x) $:
Passo 5
A concavidade da função depende do sinal da segunda derivada:
- Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
- Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) = -6x $:
- Quando $ x > 0 $, $ f’’(x) = -6x < 0 $ → côncava para baixo.
- Quando $ x < 0 $, $ f’’(x) = -6x > 0 $ → côncava para cima.
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos achar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde $ f’’(x) = 0 $:
Então, temos um ponto de inflexão em $ x = 0 $.
Resposta
A função $ f(x) = x(6 - x^2) $ é côncava para cima quando $ x < 0 $ e côncava para baixo quando $ x > 0 $. Existe um ponto de inflexão em $ x = 0 $.