Para cada uma das funções a seguir, determine o seu domínio, a sua imagem e desenhe o seu gráfico.
f(x)=x^3-2 x^2-5 x+6x^2+x-2.

Passo 1

Temos a função racional f(x)=\frac{x{3}-2x{2}-5x+6}{x^{2}+x-2}. O conteúdo aqui é análise de funções racionais: vamos precisar fatorar polinômios, achar pontos em que o denominador anula (domínio), simplificar(cancelar fatores) e estudar buracos, além de determinar imagem e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, resolvemos x^{2}+x-2=0. Fatorando, temos (x-1)(x+2)=0, ou seja, x=1 e x=-2 anulam o denominador. Portanto o domínio é Rsetminus-2,1.

Passo 3

Agora fatoramos o numerador: x{3}-2x{2}-5x+6. Agrupando, encontramos (x-1)(x+2)(x-3). Como o denominador é (x-1)(x+2), podemos simplificar: f(x)=x-3, xneq -2,1

Passo 4

A simplificação mostra que o gráfico de f é a reta y=x-3, salvo que nos pontos x=-2 e x=1 a função não está definida. Calculamos os buracos substituindo na expressão simplificada: em x=-2, y=-5; em x=1, y=-2. Logo há buracos em (-2,-5) e (1,-2).

Passo 5

Para a imagem, observamos que a reta y=x-3 atinge todo valor real, exceto os valores de y correspondentes aos buracos. Como y=-5 só ocorre em x=-2 e y=-2 só ocorre em x=1 (ambos excluídos do domínio), a imagem é Rsetminus-5,-2.

Resposta

Domínio: Rsetminus-2,1. Imagem: Rsetminus-5,-2. Gráfico: reta y=x-3 com buracos em (-2,-5) e (1,-2).

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